PSIKOLOGI PENDIDIKAN

  1. A.   PENGERTIAN PSIKOLOGI BELAJAR

Psikologi belajar terdiri dari dua penggalan kata, yaitu psikologi dan belajar. Psikologi berasal dari bahasa Yunani yaitu “psyche” yang berarti “jiwa” dan “logos” yang berarti “ilmu”. Dengan demikian Psikologi dapat diartikan sebagai ilmu jiwa.

Bermacam-macam definisi psikologi diantaranya :

  1. 1.      Psikologi adalah ilmu mengenai kehidupan mental (The science of mental life)
  2. 2.      Psikologi adalah ilmu mengenai pikiran (The Science of mind)
  3. 3.      Psikologi adalah ilmu mengenai tingkah laku (The science of behavior)

 

Menurut  Crow and Crow, Psicology is the study of human behavior and human relationship, Psikologi adalah tingkah laku manusia yakni interaksi dengan lingkungan sekitarnya. Tingkah laku dalam hal ini meliputi tingkah laku nyata (eksplisit:terbuka) seperti membaca, berbicara, tertawa, dll. Sedangkan yang tidak nyata (implisit:tertutup) seperti berpikir, mengingat, merasakan, dll. Psikologi lebih banyak dikaitkan sebagai ilmu pengetahuan yang berusaha memahami perilaku manusia, alasan dan cara mereka melakukan sesuatu, dan juga memahami bagaimana manusia berpikir dan berperasaan.

 

Sedangkan belajar diartikan sebagai suatu perubahan yang terjadi dalam diri seseorang mengenai hal-hal yang bermanfaat baginya melalui interaksi dengan lingkungan sekitarnya. Aktivitas yang dipahami sebagai serangkaian kegiatan jiwa raga, psikofisik, menuju ke perkembangan pribadi individu seutuhnya yang menyangkut unsur cipta (kognitif), rasa (afektif), dan karsa (psikomotor). Perkembangan dalam arti belajar disini dipahami sebagai perubahan yang relatif permanen pada aspek psikologis.

 

Jadi, berdasarkan pengertian tersebut dapat diartikan bahwa psikologi belajar adalah suatu ilmu jiwa yang berisi teori-teori mengenai belajar tentang bagaimana cara individu belajar atau melakukan pembelajaran.

 

  1. B.   RUANG LINGKUP PSIKOLOGI BELAJAR

Psikologi belajar memiliki ruang lingkup yang secara garis besar dapat dibagi menjadi tiga pokok bahasan , yaitu masalah belajar , proses belajar , dan situasi belajar .

  1. Pokok Bahasan Mengenai Belajar
  •  Teori – teori belajar
  •  Prinsip – prinsip belajar
  •  Hakikat belajar
  •  Jenis – jenis belajar
  •  Aktivitas – aktivitas belajar
  •  Teknik belajar efektif
  •  Karakteristik perubahan hasil belajar
  •  Manifestasi perilaku belajar
  •  Faktor – faktor yang mempengaruhi belajar

2.   Pokok Bahasan Mengenai Proses Belajar

  • Tahapan perbuatan belajar
  •  Perubahan – perubahan jiwa yang terjadi selama belajar
  •  Pengaruh pengalaman belajar terhadap perilaku individu
  •  Pengarauh motivasi terahadap perilaku belajar
  •  Signifikasi perbedaan individual dalam kecepatan memproses kesan dan keterbatasan kapasitas individu dalam belajar
  •  Masalah proses lupa dan kemampuan individu memproses perolehannya melalui transfer belajar
  1. Proses Bahasan Mengenai Situasi Belajar
  • Suasana dan keadaan lingkungan fisik
  • Suasana dan keadaan lingkungan non-fisik
  • Suasana dan keadaan lingkungan sosial
  • Suasana dan keadaan lingkungan non-sosial
  1. C.   METODE PSIKOLOGI BELAJAR

Ada beberapa metode riset yang sudah lazim digunakan dalam psikologi , yaitu sebagai berikut :

  1. 1.      Metode Eksperimen ( Eksperimen Method )

Maksud dilakukannya eksperimen dalam psikologi adalah untuk “ mengetes “ keyakinan atau pendapat tentang tingkah laku manusia dalam situasi atau kondisi tertentu. Eksperimen dilakukan dengan anggapan bahwa semua situasi atau kondisi dapat dikontrol dengan teliti yang keadaannya berbeda dari observasi yang terkontrol. Lewat penerapan metode eksperimen banyak aspek belajar yang dapat diteliti dengan baik. Aspek yang dimaksud antara lain keefektifan kompratif dari metode – metode mengajar yang berbeda ( seperti metode diskusi  versus metode ceramah ) untuk mempelajari keseluruhannya .

2. Metode Observasi

Metode observasi adalah metode untuk mempelajari gejala kejiwaan melalui pengamatan dengan sengaja , teliti , dan sistematis . Observasi dibedakan menjadi dua , yaitu :

Ø Metode Introspeksi

Metode introspeksi adalah metode untuk mempelajari gejala – gejala kejiwaan dengan jalan meninjau gejala – gejala jiwa sendiri secara sengaja  , teliti , dan sistematis .

Ø Metode Ekstrospeksi

Metode Ekstrospeksi adalah metode untuk mempelajari gejala-gejala kejiwaan dengan jalan mempelajari peristiwa-peristiwa jiwa orang lain dengan telitidan sistematis.

3. Metode Genetik ( The Genetic method  )

Metode ini, juga disebut metode perkembangan (development method ),  merupakan teknik observasi yang digunakan untuk meneliti masa pertumbuhan mental dan fisik anak dan juga hubungannya dengan anak-anak lain dan orang-orang dewasa, yakni perkembangan sosialny, kemudian dicatat dengan cermat.

  1. 1.       Metode Riwayat Hidup atau Klinis

Metode riwayat hidup adalah metode untuk menyelidiki gejala-gejala kejiwaan dengan jalan mengumpulkan riwayat hidup sebanyak-banyaknya, baik yang ditulis sendiri maupun yang ditulis orang lain. Dalam penyelidikan ini buku-buku harian dan kenang-kenangan besar sekali manfaatnya. Walaupun metode ini merupakan cara penyelidikan yang lebih teliti dan bersifat menyeluruh, nemun terdapat pula kelemahan-kelemahannya, antara lain tidak seluruh kejadian di masa lalu akan tetap dapat diingat, sehingga keterangan-keterangan yang diberikan boleh jadi tidak objektif.

 

 

  1. 2.       Metode Tes

Tes adalah suatu alat yang di dalamnya berisi sejumlah pertanyaan yang harus dijawab atau perintah-perintah yang harus dikerjakan, untuk mendapatkan gambaran tentang kejiwaan seseorang atau kelompok orang.

Tes merupakan instrument riset yang penting dalam psikologi masa sekarang. Ia digunakan untuk mengukur semua jenis kemampuan, minat, bakat, prestasi, sikap, dan ciri kepribadian.

  1. D.  PENGERTIAN TEORI BELAJAR

Secara umum belajar diartikan sebagai perubahan tingkah laku yang relatif permanen, yang bukan hasil dari proses perkembangan atau pertumbuhan. Banyak ahli berpendapat perubahan tingkah laku yang diakibatkan proses perkembangan atau pendewasaan biasanya hanya bersifat temporary/sementara. Ada banyak definisi belajar yang dikemukan oleh para ahli pendidikan. Sebagaimana yang diungkapkan Gagne (1984) dalam Ratna Wilis  (2011: 2) belajar adalah suatu proses dimana suatu organisasi berubah perilakunya sebagai akibat pengalaman.  Selain itu menurut W.H. Burton dalam Moh. User (2007:5) “ learning is a change in the individual due to instruction of that individual and his environment , which feels a need and makes him more capable of dealing adequately with his environment”. Disini terdapat kata change yang berarti perubahan , yang berarti bahwa dengan proses belajar seseorang akan mengalami perubahan baik dari segi kemampuan, keterampilan dan sikap. Dalam setiap proses belajar terjadi interaksi. Belajar dapat terjadi dengan adanya usaha dari manusia itu sendiri untuk mengalami proses belajarnya. Dari berbagai pandangan teori belajar diatas, maka dapat kita, simpulkan bahwa belajar adalah suatu proses yang dilakukan individu untuk memperoleh suatu  perubahan tingkah laku yang relatif permanen pada diri seseorang baik itu berupa pengetahuan, keterampilan dan sikap sebagai akibat pengalaman. Teori adalah cara-cara atau metode yang digunakan untuk mempelajari atau meneliti sesuatu dalam sesuatu proses pembelajaran. Dengan begitu teori belajar adalah cara-cara yang digunakan untuk memperoleh perubahan tingkah laku seseorang yang relatif permanen, baik berupa pengetahuan, keterampilan dan sikap sebagai akibat pengalaman.

  1. F.   TEORI-TEORI BELAJAR
  2. 1.      Teori Belajar Behavioristik

Teori belajar behavioristik adalah sebuah teori yang dicetuskan oleh Gage dan Berliner tentang perubahan tingkah laku sebagai hasil dari pengalaman. Teori ini lalu berkembang menjadi aliran psikologi belajar yang berpegaruh terhadap arah dan pengembangan teori dan praktek pendidikan  dan pembelajaran yang dikenal sebagai aliran behavioristik. Aliran ini menekankan pada terbentuknya perilaku yang tampak sebagai hasil belajar. Teori behavioristik dengan model hubungan stimulus-responnya, mendudukkan orang yang belajar sebagai individu yang pasif. Respon atau perilaku tertentu dengan menggunakan metode pelatihan atau pembiasaan semata. Munculnya perilaku akan semakin kuat bila diberikan penguatan dan akan menghilang bila dikenai hukuman. Belajar merupakan akibat adanya interaksi antara stimulus dan respon (Slavin, 2000:143). Seseorang dianggap telah belajar sesuatu jika dia dapat menunjukkan perubahan perilakunya. Menurut teori ini dalam belajar, yang penting adalah input yang berupa stimulus dan output yang berupa respon. Stimulus adalah apa saja yang diberikan guru kepada pelajar, sedangkan respon berupa reaksi atau tanggapan pelajar terhadap stimulus yang diberikan oleh guru tersebut. Proses yang terjadi antara stimulus dan respon tidak penting untuk diperhatikan karena tidak dapat diamati dan tidak dapat diukur. Yang dapat diamati adalah stimulus dan respon, oleh karena itu apa yang diberikan oleh guru (stimulus) dan apa yang diterima oleh pelajar (respon) harus dapat diamati dan diukur. Teori ini mengutamakan pengukuran, sebab pengukuran merupakan suatu hal penting untuk melihat terjadi atau tidaknya perubahan tingkah laku tersebut. Beberapa prinsip dalam teori belajar behavioristik, meliputi: (1) Reinforcement and Punishment; (2) Primary and Secondary Reinforcement; (3) Schedules of Reinforcement; (4) Contingency Management; (5) Stimulus Control in Operant Learning; (6) The Elimination of Responses (Gage, Berliner, 1984).

 

(1). Reinforcement and Punishment

Prinsip menambahkan atau mengurangi rangsangan.  Sering juga dikenal sebagai positive and negative reinforcement.  Atau secara mudahnya adalah prinsip memberikan dan menghapus rangsangan.

(2). Primary and secondary reinforcement

Primary reinforcement adalah rangsangan berupa kebutuhan pokok manusia berupa makanan dan minuman serta kenyamanan. Sedangkan secondary reinforcement adalah rangsangan yang terpengaruh dari asosiasi seseorang.

(3). Schedules of reinforcement

Prinsip mengenai pemberian rangsangan/stimulus secara terjadwal.  Dengan pemberian rangsangan yang terjadwal maka respon juga bisa diketahui pengaruhnya.

(4). Contingency management
Contingency management merupakan prinsip yang berhubungan dengan kesehatan mental seseorang. Contingency management digunakan untuk memberikan perawatan kejiwaan kepada seseorang.

(5). Stimulus Control in Operant Learning
Prinsip mengendalikan rangsangan untuk menghasilkan perilaku yang diharapkan. Stimulus yang tidak terkendali akan menghasilkan perilaku output yang tidak sesuai.

(6). The Elimination of Responses
Merupakan prinsip penghapusan perilaku yang tidak diinginkan. Terkadang perilaku yang tidak diharapkan muncul.  Oleh karena itu perilaku-perilaku tertentu sebagai sebagai output perlu dihilangkan.

Tokoh-tokoh aliran behavioristik di antaranya adalah ThorndikeWatsonClark HullEdwin Guthrie, dan Skinner.

  1. Eduard Lee Thorndike

Menurut Thorndike, belajar adalah proses interaksi antara stimulus dan respon. Stimulus adalah apa yang merangsang terjadinya kegiatan belajar seperti pikiran, perasaan, atau hal-hal lain yang dapat ditangkap melalui alat indera. Sedangkan respon adalah reaksi yang dimunculkan peserta didik ketika belajar, yang dapat pula berupa pikiran, perasaan, atau gerakan/tindakan. Jadi perubahan tingkah laku akibat kegiatan belajar dapat berwujud konkrit, yaitu yang dapat diamati, atau tidak konkrit yaitu yang tidak dapat diamati. Meskipun aliran behaviorisme sangat mengutamakan pengukuran, tetapi tidak dapat menjelaskan bagaimana cara mengukur tingkah laku yang tidak dapat diamati. Teori Thorndike ini disebut pula dengan teori koneksionisme (Slavin, 2000). Ada tiga hukum belajar yang utama, menurut Thorndike yakni :

(1)   Hukum akibat (Law of Effect) ; hubungan stimulus-respon cenderung diperkuat bila akibatnya menyenangkan dan cenderung diperlemah bila akibatnya tidak memuaskan

(2)   Hukum latihan (Law of Exercise) ; semakin sering tingkah laku diulang, maka asosiasi tersebut semakin kuat

(3)   Hukum kesiapan (Law of readiness) ; hubungan stimulus-respon cenderung diperkuat bila akibatnya menyenangkan dan cenderung diperlemah bila akibatnya tidka memuaskan.

Ketiga hukum ini menjelaskan bagaimana hal-hal tertentu dapat memperkuat respon.

  1. John Broades Watson

Watson mendefinisikan belajar sebagai proses interaksi antara stimulus dan respon, namun stimulus dan respon yang dimaksud harus dapat diamati (observable) dan dapat diukur. Jadi walaupun dia mengakui adanya perubahan-perubahan mental dalam diri seseorang selama proses belajar, namun dia menganggap faktor tersebut sebagai hal yang tidak perlu diperhitungkan karena tidak dapat diamati. Watson adalah seorang behavioris murni, karena kajiannya tentang belajar disejajarkan dengan ilmu-ilmu lain seperi Fisika atau Biologi yang sangat berorientasi pada pengalaman empirik semata, yaitu sejauh mana dapat diamati dan diukur.

  1. Clark Hull

Clark Hull juga menggunakan variabel hubungan antara stimulus dan respon untuk menjelaskan pengertian belajar. Namun dia sangat terpengaruh oleh teori evolusi Charles Darwin. Bagi Hull, seperti halnya teori evolusi, semua fungsi tingkah laku bermanfaat terutama untuk menjaga agar organisme tetap bertahan hidup. Oleh sebab itu Hull mengatakan kebutuhan biologis (drive) dan pemuasan kebutuhan biologis (drive reduction) adalah penting dan menempati posisi sentral dalam seluruh kegiatan manusia, sehingga stimulus (stimulus dorongan) dalam belajarpun hampir selalu dikaitkan dengan kebutuhan biologis, walaupun respon yang akan muncul mungkin dapat berwujud macam-macam. Penguatan tingkah laku juga masuk dalam teori ini, tetapi juga dikaitkan dengan kondisi biologis (Bell, Gredler, 1991).

  1. Edwin Guthrie

Azas belajar Guthrie yang utama adalah hukum kontiguiti. Yaitu gabungan stimulus-stimulus yang disertai suatu gerakan, pada waktu timbul kembali cenderung akan diikuti oleh gerakan yang sama (Bell, Gredler, 1991). Guthrie juga menggunakan variabel hubungan stimulus dan respon untuk menjelaskan terjadinya proses belajar. Belajar terjadi karena gerakan terakhir yang dilakukan mengubah situasi stimulus sedangkan tidak ada respon lain yang dapat terjadi. Penguatan sekedar hanya melindungi hasil belajar yang baru agar tidak hilang dengan jalan mencegah perolehan respon yang baru. Hubungan antara stimulus dan respon bersifat sementara, oleh karena dalam kegiatan belajar peserta didik perlu sesering mungkin diberi stimulus agar hubungan stimulus dan respon bersifat lebih kuat dan menetap. Guthrie juga percaya bahwa hukuman (punishment) memegang peranan penting dalam proses belajar. Hukuman yang diberikan pada saat yang tepat akan mampu mengubah tingkah laku seseorang.Saran utama dari teori ini adalah guru harus dapat mengasosiasi stimulus respon secara tepat. Pebelajar harus dibimbing melakukan apa yang harus dipelajari. Dalam mengelola kelas guru tidak boleh memberikan tugas yang mungkin diabaikan oleh anak (Bell, Gredler, 1991).

  1. B.F Skinner

Konsep-konsep yang dikemukanan Skinner tentang belajar lebih mengungguli konsep para tokoh sebelumnya. Ia mampu menjelaskan konsep belajar secara sederhana, namun lebihkomprehensif. Menurut Skinner hubungan antara stimulus dan respon yang terjadi melalui interaksi dengan lingkungannya, yang kemudian menimbulkan perubahan tingkah laku, tidaklah sesederhana yang dikemukakan oleh tokoh tokoh sebelumnya. Menurutnya respon yang diterima seseorang tidak sesederhana itu, karena stimulus-stimulus yang diberikan akan saling berinteraksi dan interaksi antar stimulus itu akan memengaruhi respon yang dihasilkan. Respon yang diberikan ini memiliki konsekuensi-konsekuensi. Konsekuensi-konsekuensi inilah yang nantinya memengaruhi munculnya perilaku (Slavin, 2000). Oleh karena itu dalam memahami tingkah laku seseorang secara benar harus memahami hubungan antara stimulus yang satu dengan lainnya, serta memahami konsep yang mungkin dimunculkan dan berbagai konsekuensi yang mungkin timbul akibat respon tersebut. Skinner juga mengemukakan bahwa dengan menggunakan perubahan-perubahan mental sebagai alat untuk menjelaskan tingkah laku hanya akan menambah rumitnya masalah. Sebab setiap alat yang digunakan perlu penjelasan lagi, demikian seterusnya.

  1. 2.      Teori belajar Kognitif

Berdasarkan teori belajar kognitif, belajar merupakan suatu proses terpadu yang berlangsung didalam diri seseorang dalam upaya memperoleh pemahaman dan struktur kognitif baru atau untuk mengubah pemahaman dan struktur kognitif lama. Memperoleh pemahaman berarti menangkap makna atau arti dari suatu objek atau suatu situasi yang dihadapi sedangkan struktur kognitif adalah tanggapan seseorang tentang keadaan dalam lingkungan sekitarnya yang mempengaruhi ide-ide, perasaan, tindakan, dan hubungan sosial orang yang bersangkutan. Sedangkan teori belajar kognitif lebih menekankan pada belajar merupakan suatu proses yang terjadi dalam akal pikiran manusia.

Tokoh-tokoh pendukung teori kognitif adalah:

  1. Winkel

Belajar adalah suatu aktivitas mental atau psikis yang berlangsung dalam interaksi aktif dengan lingkungan yang menghasilkan perubahan-perubahan dalam pengetahuan pemahaman, keterampilan dan nilai sikap. Perubahan itu bersifat relatif dan berbekas.

  1. Wallacce, Engel and Mooney

Teori belajar kognitif memiliki 4 postulat, yaitu :

  1. Belajar diikat dengan pengalaman belajar sehari-hari
  2. Penyelesaian masalah lebih baik dibandingkan menghafal
  3. Transfer akan terjadi jika pembelajarannya berlangsung pada konteks yang sama dengan aplikasinya.
  4. Pembelajaran harus melibatkan diskusi kelompok untuk pengembangan penalaran

 

  1. Jean Piaget

Jean Piaget adalah seorang ilmuwan perilaku dari Swiss, ilmuwan yang sangat terkenal dalam penelitian mengenai perkembangan berpikir khususnya proses berpikir pada anak. Menurutnya setiap anak mengembangkan kemampuan berpikirnya menurut tahap yang teratur, pada satu tahap perkembangan tertentu akan muncul skema atau struktur tertentu yang keberhasilannya pada setiap tahap amat bergantung pada tahap sebelumnya. Adapun tahap tersebut adalah:

  1. Tahap sensori Motorik (dari lahir sampai kurang lebih 2 tahun)

Belajar lewat lingkungan sekitarnya dengan cara melihat, meraba, mengecap, mencium dan menggerakan. Dengan kata lain mereka mengandalkan kamampuan sensorik serta motoriknya. Beberapa kemampuan kognitif yang penting muncul pada tahap ini, anak tersebut mengetahui bahwa perilaku tertentu akan menyebabkan akibat tertentu pula bagi dirinya. Misalnya dengan menendang-nendang dia tahu bahwa selimut yang dipakainya akan jatuh atau tergeser karena ditendang.

  1. Tahap pra-operasional (kurang lebih umur 2 tahun hingga 7 tahun)

Mengandalkan dirinya sendiri pada persepsinyaa mengenai realitas akan terlihat sangat menonjol pada tahap ini. Dengan adanya perkembangan bahasa dan ingatan, maka anak mampu mengingat banyak hal tentang lingkungannya. Intelektual anak dibatasi oleh egosentrisnya yaitu ia tidak menyadari orang lain mempunyai pandangan yang berbeda dengannya.

  1. Tahap operasional konkrit (kurang lebih 7-11 tahun)

Anak mulai berpikir secara logis tentang kejadian-kejadian konkrit yang terjadi di lingkungan sekitarnya. Tahap ini dicirikan dengan anak sudah mulai menggunakan aturan-aturan yang jelas dan konkrit.

  1. Tahap operasional Formal (setelah usia 11 tahun)

Pada tahap ini perkembangan penalaran abstrak terbentuk. Selain penalaran abstrak anak mampu berpikir logis dengan pola pikir “kemungkinan”.

Dalam pandangan Piaget, proses adaptasi seseorang dengan lingkungannya terjadi secara simultan melalui dua proses yaitu asmilasi dan akomodasi. Asimilasi terjadi jika pengetahuan baru yang diterima seseorang cocok dengan struktur kognitif yang telah dimilki seseorang tersebut. Sebaliknya, akomodasi terjadi jika struktur kognitif yang telah dimiliki seseorang harus direkonstruksi atau dikode ulang sesuai dengan informasi yang baru diterima. Piaget juga menekankan pentingnya penyeimbangan agar seseorang dapat terus mengembangkan dan menambah pengetahuan sekaligus menjaga stabilitas mentahnya.

  1. Jerome Bruner (Discovery Learning)

Beliau menekankan bahwa proses belajar akan berjalan dengan baik dan kreatif jika guru memberikan kesempatan kepada siswa untuk menemukan suau konsep, teori, aturan atau pemahaman melalui contoh yang ia jumpai dalam kehidupan. Bruner meyakinkan bahwa pembelajaran tersebut bisa muncul dalam tiga cara atau bentuk yaitu: enactive, iconic, symbolic.

  1. Enactive ; mempelajari sesuatu dengan memanipulasi objek. Melakukan pengetahuan tersebut daripada hanya memahaminya.
  2. Iconic ; merupakan pembelajarna yang melalui gambaran, dalam bentuk ini anak-anak mempresentasikan pengetahuan melalui sebuah gambar dalam benak mereka.
  3. Symbolic ; merupakan pembelajaran yang dilakukan melalui representasi pengalaman abstrak(seperti bahasa) yang sama sekali tidka memilki kesamaan fisik dengan pengalaman tersebut.

Jika dikorelasikan dengan aplikasi pembelajaran, Discovery Learning Bruner dapat dikemukakan sbb:

  1. Belajar merupakan kecenderungan dalam diri manusia yaitu Self-curiousity (keingintahuan) untuk mengadakan petualangan pengalaman.
  2. Belajar penemuan terjadi karena sifat mental manusia mengubah struktur yang ada. Sifat mental tersebut selalu mengalir untuk mengisi berbagai kemngkinan pengenalan.
  3. Kualitas belajar penemuan diwarnai modus imperative kesiapan dan kemampuan secara enactive, iconic, dan symbolic.
  4. Penerapan belajar penemuan hanya merupakan garis besar tunjuan instruksional sebagai arah informatif
  5. Kreatifitas metaforik dan creative conditioning yang bebas dan bertanggung jawab memungkinkan kemajuan.
  6. 3.      Teori Belajar Bermakna

Teori ini diterapkan oleh David Ausubel merupakan salah satu ahli psikologi Amerika. Meurut Ausubel ada dua jenis belajar, yaitu:

  1. Belajar Bermakna (Meaningful learning)

Suatu proses belajar dimana infromasi baru dihubungkan dengan struktur pengertian yang sudah dipunyai seseorang yang sedang belajar.

  1. Belajar Menghafal (Rote Learning)

Siswa berusahan menerima dan menguasai bahan yang diberikan pengajar atau yang dibaca tanpa makna

Ausubel menaruh perhatian besar pada siswa disekolah dengan memperhatikan dan memberikan tekanan pada unsur kebermaknaan dalam belajar melalui bahasa (meaningful verbal learning). Kebermaknaan diartikan sebagai kombinasi dari informasi verbal, konsep, kaidah dan prinsip bila ditinjau bersama-sama. Oleh karena itu belajar dengan prestasi hafalan saja tidak dianggap sebagai belajar bermakna. Maka menurut beliau supaya proses belajar siswa menghasilkan sesuatu yang bermakna, tidak harus siswa menemukan semuanya sendiri. Malah akan bahaya jika siswa kurang mahir dalam hal ini, sekedar hanya mencoba-coba tanpa menemukan sesuatu yang sungguh berarti baginya. Seandainya seorang siswa ahli dalam mengadakan penenlitian demi untuk menemukan kebenaran baru tentu hal diatas tidak akan terjadi. Beliau juga berpendapat bahwa memperoleh infomasi merupakan tujuan pembelajaran yang penting dalam hal-hal tertentu yang dapat mengarahkan guru untuk menyampaikan infomasi kepada siswa. Dalam hal ini guru bertanggungjawab untuk mengorganisasikan dan mempresentasikan apa yang perlu dipelajari oleh siswa, sedangkan peran siswa disini adalah menguasai yang disampaikan gurunya. Belajar dikatakan menjadi bermakna adalah bila informasi yang akan dipelajari peserta didik disusun sesuai dengan struktur kognitif yang dimiliki peserta didik itu sehingga peserta didik mampu mengaitkan informasi barunya dengan struktur kognitif yang dimilkinya. Belajar seharusnya merupakan apa yang disebut asmilasi bermakna, materi yang dipelajari diasimilasikan dan dihubungkan dengan pengetahuan yang telah dipunyai sebelumnya. Untuk itu diperlukan dua persyaratan :

  1. 1.      Materi yang secara potensial bermakna dan dipilih oleh guru dan harus sesuai dengan tingkat perkembangan dan pengetahuan masa lalu peserta didik.
  2. 2.      Diberikan dalam situasi belajar yang bermakna, faktor motivisional memegang peranan penting dalam hal ini sebab peserta didik tidak akan mengasimilasikan materi baru tersebut apabila mereka tidak mempunyai keinginan dan pengetahuan bagaimana melakukannya. Sehingga, hal ini perlu diatur oleh guru agar materi tidak dipelajari secara hafalan.

Berdasarkan uraian diatas maka belajar bermakna menurut Ausubel adalah suatu proses belajar dimana peserta didik dapat menghubungkan infomasi baru dengan pengetahuan yang sudah dimilikinya dan agar pembelajaran menjadi bermakna diperlukan 2 hal yakni pilihan materi yang bermakna sesuai tingkat pemahaman dan pengetahuan yang dimiliki siswa dan situasi belajar yang bermakna yang dipengaruhi oleh motivasi. Dengan demikian kunci keberhasilan belajar terletak pada kebermaknaan bahan ajar yang diterima atau yang dipelajari siswa. Ausubel tidak setuju dengan pendapat bahwa kegiatan belajar penemuan (Discovery Learning) lebih bermakna daripada kegiatan belajar penerimaan (reception learning). Sehingga dengan ceramah pun (asalkan informasinya bermakna bagi peserta didik) akan menghasilkan belajar yang baik.

  1. 3.      Teori Belajar Gestalt

Teori Gestalt menekankan tingkat tinggi proses kognitif  ditengah-tengah behaviorisme. Teori ini bermula pada lapangan pengamatan dan mencapai sukses yang terbesar juga dalam lapangan. Demonstrasinya mengenai peranan latar belakang dan organisasinya terhadap proses-proses yang diamati secara fenomenal yang demikian meyakinkan sehingga dapat dikatakan tidak dapat dibantah. Ketika para ahli psikologi gestalt beralih dari masalah pengamatan ke masalah belajar, maka hasil-hasil yang telah kuat/sukses dalam penelitian mengenai pengamatan itu dibawa dalam studi mengenai belajar. Karena asumsi bahwa hukum atau prinsip yang berlaku pada proses pengamatan dapat ditransfer kepada hal belajar, maka untuk memahami prose belajar orang perlu memahami hukum-hukum yang menguasai proses pengamatan itu. Pada pengamatan itu menekankan perhatian pada bentuk yang terorganisasi dan pola persepsi manusia. Pemahaman dan persepsi tentang hubungan dalam kebulatan adalah sangat esensial dalam belajar. Psikologi gestalt terkenal juga sebagai teori medan atau lazim disebut Cognitive Field Theory. Kelompok pemikiran ini sependapat pada suatu hal yakni suatu prinsip dasar bahwa pengalaman manusia memiliki kekayaan medan yang memuat fenomena keseluruhan lebih dari bagian-bagiannya. Keseluruhan ini memberikan beberapa prinsip belajar yang penting antara lain:

  1. Manusia bereaksi dengan lingkunganya secara keseluruhan, tidak hanya secara intelektual tetapi juga secara fisik, empsional, sosial, dsb.
  2. Belajar adalah penyesuaian diri dengan lingkungan
  3. Manusia berkembang sebagai keseluruhan sejak dari keil sampai dewasa lengkap dengan segala aspek-aspeknya.
  4. Belajar adalah perkembangan kea rah diferensiasi yang lebih luas.
  5. Belajar hanya akan berhasil bial tercapai kematangan untuk memperoleh insight
  6. Tidak mungkin ada belajar tanpa ada kemauan untuk belajar. Motivasi memberi dorongan yang menggerakan seluruh organisme
  7. Belajar akan berhasil kalau ada tujuan
  8. Belajar merupakan suatu proses

Belajar memecahkan masalah diperlukan suatu pengamatan secara cermat dan lengkap. Kemudian bagaimana seseorang itu dapat memecahkan masalah. Menurut J. Dewey ada 5 upaya pemecahan, yaitu:

  1. Realisasi adanya masalah ; harus memahami apa masalahnya dan juga harus dapat merumuskan
  2. Mengajukan hipotesa ; suatu jalan yang mungkin memberi arah pemecahan masalah.
  3. Mengumpulkan data dan informasi ; dengan bacaan atau sumber lain
  4. Menilai dan mencoba usaha pembuktian hipotesa dengan keterangan yang di peroleh.
  5. Mengambil kesimpulan ; membuat laporan atau membuat sesuatu dengan hasil pemecahan masalah

Teori medan ini mengibaratkan pengalaman manusia sebagai lagu atau melodi yang lebih daripada kumpulan not. Demikian pula pengalaman manusia tidak dapat dipersepsi sebagai sesuatu yang terisolasi dari lingkunganya. Dengan kata lain, teori ini melihat makna dari suatu fenomena yang relative terhadap lingkungannya. Belajar melibatkan proses mengorganisasikan pengalaman-pengalaman ke dalam pola-pola sistematis dan bermakna. Belajar bukan merupakan penjumlahan tetapi belajar mulai dengan mempersepsi keseluruhan. Lambat laun terjadi proses diferensiasi yakni menangkap bagian-bagian dan detail suatu objek pengalaman. Dengan memahami detail, maka persepsi awal akan keseluruhan objek yang semula masih agak kabur menjadi jelas. Seseorang bereaksi terhadap lingkungan sesuai dengan persepsi terhadap lingkungan pada saat tersebut. Manusia mempersepsi lingkungan secara kolektif, tidak semua objek masuk ke dalam fokus persepsi individu, sebagian berfungsi hanya sebagai latar. Berikut aplikasi teori Gestalt dalam proses belajar.

  1. Belajar

Fenomena kognitif, apabila individu mengalami proses belajar, terjadi reorganisasi dalam perceptual fieldnya. Setelah proses belajar terjadi, seseorang dapat memiliki cara pandang baru terhadap suatu masalah

  1. Memori

Hasil persepsi terhadap objek meninggalkan jejak ingatan.

  1. Insight

Insight adalah didapatkannya pemecahan masalah, dimengertinya persoalan dan inilah inti belajar. Yang penting bukanlah mengulang-ulang hal yang dipelajari tetapi mengerti dan mendapatkan insight. Konsep insight ditemuka oleh Kohler dalam eksperimen yang sistematis.

  1. Pembelajaran yang bermakna (meaningful learning)

kebermaknaan unsur-unsur yang terkait akan menunjang pembentukan tilikan dalam proses pembelajaran. Makin jelas makna hubungan suatu unsur akan makin efektif sesuatu yang dipelajari. Hal ini sangat penting dalam kegiatan pemecahan masalah, khususnya dalam identifikasi masalah dan pengembangan alternatif pemecahannya. Hal-hal yang dipelajari peserta didik hendaknya memiliki makna yang jelas dan logis dengan proses kehidupannya.

  1. Perilaku bertujuan (pusposive behavior)

Perilaku terarah pada tujuan. Perilaku bukan hanya terjadi akibat hubungan stimulus-respons, tetapi ada keterkaitannya dengan dengan tujuan yang ingin dicapai. Proses pembelajaran akan berjalan efektif jika peserta didik mengenal tujuan yang ingin dicapainya. Oleh karena itu, guru hendaknya menyadari tujuan sebagai arah aktivitas pengajaran dan membantu peserta didik dalam memahami tujuannya.

  1. Prinsip ruang hidup (life space)

Perilaku individu memiliki keterkaitan dengan lingkungan dimana ia berada. Oleh karena itu, materi yang diajarkan hendaknya memiliki keterkaitan dengan situasi dan kondisi lingkungan kehidupan peserta didik.

  1. Transfer dalam Belajar

Pemindahan pola-pola perilaku dalam situasi pembelajaran tertentu ke situasi lain. Menurut pandangan Gestalt, transfer belajar terjadi dengan jalan melepaskan pengertian obyek dari suatu konfigurasi dalam situasi tertentu untuk kemudian menempatkan dalam situasi konfigurasi lain dalam tata-susunan yang tepat. Judd menekankan pentingnya penangkapan prinsip-prinsip pokok yang luas dalam pembelajaran dan kemudian menyusun ketentuan-ketentuan umum (generalisasi). Transfer belajar akan terjadi apabila peserta didik telah menangkap prinsip-prinsip pokok dari suatu persoalan dan menemukan generalisasi untuk kemudian digunakan dalam memecahkan masalah dalam situasi lain. Oleh karena itu, guru hendaknya dapat membantu peserta didik untuk menguasai prinsip-prinsip pokok dari materi yang diajarkannya.

  1. 4.      Teori Belajar Humanistik

Psikologi humanistik atau disebut juga dengan nama psikologi kemanusiaan adalah suatu pendekatan yang multifaset terhadap pengalaman dan tingkah laku manusia, yang memusatkan perhatian pada keunikan dan aktualisasi diri manusia. Bagi sejumlah ahli psikologi humanistik ia adalah alternatif, sedangkan bagi sejumlah ahli psikologi humanistik yang lainnya merupakan pelengkap bagi penekanan tradisional behaviorisme dan psikoanalis.

Psikologi humanistik juga memberikan sumbangannya bagi pendidikan alternatif yang dikenal dengan sebutan pendidikan humanistik (humanistic) keseluruhan melalui pembelajaran nyata. Pengembangan aspek emosional, sosial, mental, dan keterampilan dalam berkarier menjadi fokus dalam model pendidikan humanistic.

Aliran Psikologi Humanistik selalu mendorong peningkatan kualitas diri manusia melalui penghargaannya terhadap potensi-potensi positif yang ada pada setiap insan. Seiring dengan perubahan dan tuntutan zaman, proses pendidikan pun senantiasa berubah. Berikut adalah Tokoh-tokoh dibalik teori Humanistik :

  1. Abraham Maslow

Sebagian dari teorinya yang penting didasarkan atas asumsi bahwa dalam diri manusia terdapat dorongan positif untuk tumbuh dan kekuatan-kekuatan yang melawan atau menghalangi pertumbuhan (Rumini, dkk. 1993). Maslow berpendapat, bahwa manusia memiliki hierarki kebutuhan yang dimulai dari kebutuhan jasmaniah-yang paling asasi, sampai dengan kebutuhan tertinggi yakni kebutuhan estetis. Kebutuhan jasmaniah seperti makan, minum, tidur dan sex menuntut sekali untuk dipuaskan. Apabila kebutuhan ini terpuaskan, maka muncullah kebutuhan keamanan seperti kebutuhan kesehatan dan kebutuhan terhindar dari bahaya dan bencana. Berikutnya adalah kebutuhan untuk memiliki dan cinta kasih, seperti dorongan untuk memiliki kawan dan berkeluarga, kebutuhan untuk menjadi anggota kelompok, dan sebagainya. Ketidakmampuan memenuhi kebutuhan ini dapat mendorong seseorang berbuat lain untuk memperoleh pengakuan dan perhatian, misalnya dia menggunakan prestasi sebagai pengganti cinta kasih. Berikutnya adalah kebutuhan harga diri, yaitu kebutuhan untuk dihargai, dihormati, dan dipercaya oleh orang lain. Apabila seseorang telah dapat memenuhi semua kebutuhan yang tingkatannya lebih rendah tadi, maka motivasi lalu diarahkan kepada terpenuhinya kebutuhan aktualisasi diri, yaitu kebutuhan Psikologi Humanistik untuk mengembangkan potensi atau bakat dan kecenderungan tertentu. Bagaimana cara aktualisasi diri ini tampil, tidaklah sama pada setiap orang. Sesudah kebutuhan ini, muncul kebutuhan untuk tahu dan mengerti, yakni dorongan untuk mencari tahu, memperoleh ilmu dan pemahaman. Sesudahnya, Maslow berpendapat adanya kebutuhan estetis, yakni dorongan keindahan, dalam arti kebutuhan akan keteraturan, kesimetrisan dan kelengkapan. Maslow membedakan antara empat kebutuhan yang pertama dengan tiga kebutuhan yang kemudian. Keempat kebutuhan yang pertama disebutnya(kebutuhan yang timbul karena kekurangan), dan pemenuhan kebutuhan ini pada umumnya bergantung pada orang lain. Sedangkan ketiga kebutuhan yang lain dinamakan growth need (kebutuhan untuk tumbuh) dan pemenuhannya lebih bergantung pada manusia itu sendiri. Implikasi dari teori Maslow dalam dunia pendidikan sangat penting. Dalam proses belajar-mengajar misalnya, guru mestinya memperhatikan teori ini. Apabila guru menemukan kesulitan untuk memahami mengapa anak-anak tertentu tidak mengerjakan pekerjaan rumah, mengapa anak tidak dapat tenang di dalam kelas, atau bahkan mengapa anak-anak tidak memiliki motivasi untuk belajar. Menurut Maslow, guru tidak bisa menyalahkan anak atas kejadian ini secara langsung, sebelum memahami barangkali ada proses tidak terpenuhinya kebutuhan anak yang berada di bawah kebutuhan untuk tahu dan mengerti. Bisa jadi anak-anak tersebut belum atau tidak melakukan makan pagi yang cukup, semalam tidak tidur dengan nyenyak, atau ada masalah pribadi / keluarga yang membuatnya cemas dan takut, dan lain-lain.

  1. Carl R. Rogers

Carl R. Rogers adalah seorang ahli psikologi humanistik yang

gagasan-gagasannya berpengaruh terhadap pikiran dan praktek

psikologi di semua bidang, baik klinis, pendidikan, dan lain-lain.

Lebih khusus dalam bidang pendidikan, Rogers mengutarakan

pendapat tentang prinsip-prinsip belajar yang humanistik, yang

meliputi hasrat untuk belajar, belajar yang berarti, belajar tanpa

ancaman, belajar atas inisiatif sendiri, dan belajar untuk perubahan

(Rumini,dkk. 1993).

Adapun penjelasan konsep masing-masing prinsip tersebut

adalah sebagai berikut :

  1. Hasrat untuk belajar

Menurut Rogers, manusia mempunyai hasrat alami untuk belajar. Hal ini terbukti dengan tingginya rasa ingin tahu anak apabila diberi kesempatan untuk mengeksplorasi lingkungan. Dorongan ingin tahu untuk belajar ini merupakan asumsi dasar pendidikan humanistik. Di dalam kelas yang humanistik anak-anak diberi kesempatan dan kebebasan untuk memuaskan dorongan ingin tahunya, untuk memenuhi minatnya dan untuk menemukan apa yang penting dan berarti tentang dunia di sekitarnya.

  1. Belajar yang berarti

Belajar akan mempunyai arti atau makna apabila apa yang

dipelajari relevan dengan kebutuhan dan maksud anak. Artinya, anak akan belajar dengan cepat apabila yang dipelajari mempunyai arti baginya.

  1. Belajar Tanpa Ancaman

Belajar mudah dilakukan dan hasilnya dapat disimpan dengan baik apabila berlangsung dalam lingkungan yang bebas ancaman. Proses belajar akan berjalan lancer manakala murid dapat menguji kemampuannya, dapat mencoba pengalaman-pengalaman baru atau membuat kesalahan-kesalahan tanpa mendapat kecaman yang bisaanya menyinggung perasaan.

  1. Belajar atas inisiatif sendiri

Belajar akan paling bermakna apabila hal itu dilakukan atas

inisiatif sendiri dan melibatkan perasaan dan pikiran si pelajar.

Mampu memilih arah belajarnya sendiri sangatlah memberikan

motivasi dan mengulurkan kesempatan kepada murid untuk

“belajar bagaimana caranya belajar” (to learn how to learn ).

Tidaklah perlu diragukan bahwa menguasai bahan pelajaran itu

penting, akan tetapi tidak lebih penting daripada memperoleh

kecakapan untuk mencari sumber, merumuskan masalah,

menguji hipotesis atau asumsi, dan menilai hasil. Belajar atas

inisiatif sendiri memusatkan perhatian murid baik pada proses

maupun hasil belajar.Belajar atas inisiatif sendiri juga mengajar murid menjadi bebas, tidak bergantung, dan percaya pada diri sendiri. Apabila murid belajar atas inisiatif sendiri, ia memiliki kesempatan untuk menimbang-nimbang dan membuat keputusan, menentukan pilihan dan melakukan penilaian. Dia menjadi lebih bergantung pada dirinya sendiri dan kurang bersandar pada penilaian pihak lain.

  1. Belajar dan perubahan

Prinsip terakhir yang dikemukakan oleh Rogers ialah bahwa

belajar yang paling bermanfaat ialah bejar tentang proses belajar. Menurut Rogers, di waktu-waktu yang lampau murid belajar mengenai fakta-fakta dan gagasan-gagasan yang statis. Waktu itu dunia lambat brerubah, dan apa yang diperoleh di sekolah sudah dipandang cukup untuk memenuhi tuntutan zaman. Saat ini perubahan merupakan fakta hidup yang sentral. Ilmu Pengetahuan dan Teknologi selalu maju dan melaju. Apa yang dipelajari di masa lalu tidak dapat membekali orang untuk hidup dan berfungsi baik di masa kini dan masa yang akan dating. Dengan demikian, yang dibutuhkan saat ini adalah orang yang mampu belajar di lingkungan yang sedang berubah dan akan terus berubah.

  1. Arthur Combs

Prinsip terakhir yang dikemukakan oleh Rogers ialah bahwa

belajar yang paling bermanfaat ialah bejar tentang proses belajar.

Menurut Rogers, di waktu-waktu yang lampau murid belajar

mengenai fakta-fakta dan gagasan-gagasan yang statis. Waktu

itu dunia lambat brerubah, dan apa yang diperoleh di sekolah

sudah dipandang cukup untuk memenuhi tuntutan zaman.

Saat ini perubahan merupakan fakta hidup yang sentral. Ilmu

Pengetahuan dan Teknologi selalu maju dan melaju. Apa yang

dipelajari di masa lalu tidak dapat membekali orang untuk hidup

dan berfungsi baik di masa kini dan masa yang akan dating.

Dengan demikian, yang dibutuhkan saat ini adalah orang yang

mampu belajar di lingkungan yang sedang berubah dan akan

terus berubah.

  1. Aldous Huxley

Manusia memiliki banyak potensi yang selama ini banyak

terpendam dan disia-siakan. Pendidikan diharapkan mampu

membantu manusia dalam mengembangkan potensi-potensi

tersebut, oleh karena itu kurikulum dalam proses pendidikan harus

berorientasi pada pengembangan potensi, dan ini melibatkan semua pihak, seperti guru, murid maupun para pemerhati ataupun peneliti dan perencana pendidikan.Huxley (Roberts, 1975) menekankan adanya pendidikan non-verbal yang juga harus diajarkan kepada siswa. Pendidikan non verbal bukan berwujud pelajaran senam, sepak bola, bernyanyi ataupun menari, melainkan hal-hal yang bersifat diluar materi pembelajaran, dengan tujuan menumbuhkan kesadaran seseorang. Proses pendidikan non verbal sedianya dimulai sejak usia dini sampai tingkat tinggi.Betapapun, agar seseorang bisa mengetahui makna hidup dalam kehidupan yang nyata, mereka harus membekali dirinya dengan suatu kebijakan hidup, kreativitas dan mewujudkannya dengan langkah-langkah yang bijaksana. Dengan cara ini seseorang Psikologi Humanistik akan mendapatkan kehidupan yang nikmat dan penuh arti. Berbekal pendidikan non verbal, seseorang akan memiliki banyak strategi untuk lebih tenang dalam menapaki hidup karena memiliki kemampuan untuk menghargai setiap pengalaman hidupnya dengan lebih menarik. Akhirnya apabila setiap manusia memiliki kemampuan ini, akan menjadi sumbangan yang berarti bagi kebudayaan dan moral kemanusiaan.

  1. David Mills dan Stanley Scher

David Mills dan Stanley Scher memaparkan tujuan pendidikan terpadu secara detail sebagai berikut :

  1. Membantu murid untuk mengalami proses ilmu pengetahuan,

termasuk penemuan ide-ide baru, baik proses intelektual maupun afektif.

  1. Membantu murid dalam mencapai kemampuan untuk menggali

dan mengerti diri mereka sendiri dan lingkungan sekitarnya

dengan cara yang ilmiah.

  1. Meningkatkan pengertian dan ingatan terhadap konsep-konsep dan ide-ide dalam ilmu pengetahuan.
  2. Menggali bersama-sama murid, implikasi-implikasi dari aplikasi yang mungkin dari ilmu pengetahuan.
  3. Memungkinkan murid untuk menerapkan baik proses maupun

pengetahuan ilmiah untuk diri mereka, serta meningkatkan

kesadaran murid terhadap dunia mereka dan setiap pilihan yang

mereka ambil.

Berikut adalah aplikasi Teori Humanistik dalam Pendidikan

  1. Open Education atau Pendidikan Terbuka
  2. Cooperative Learning atau Belajar Kooperatif
  3. Independent Learning (Pembelajaran Mandiri)
  4. Student Centered Learning (Belajar yang Terpusat pada Siswa)
  1. E.   PENDIDIK PROFESIONAL

Para ahli memberikan pengertian guru profesional dengan berbeda-beda. Guru  adalah pendidik profesional dengan tugas utama mendidik, mengajar, membimbing, mengarahkan, melatih, menilai, dan mengevaluasi peserta didik pada pendidikan anak usia dini jalur pendidikan formal, pendidikan dasar, dan pendidikan menengah. Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia, guru adalah orang yang pekerjaannya (mata pencahariannya, profesinya) mengajar. Sedangkan Departemen Pendidikan dan Kebudayaan menyatakan bahwa guru adalah seorang yang mempunyai gagasan yang harus diwujudkan untuk kepentingan anak didik, sehingga menjunjung tinggi, mengembangkan dan menerapkan keutamaan yang menyangkut agama, kebudayaan dan keilmuan. Profesional adalah pekerjaan atau kegiatan yang dilakukan oleh seseorang dan menjadi sumber penghasilan kehidupan yang memerlukan keahlian, kemahiran, atau kecakapan yang memenuhi standar mutu atau norma tertentu serta memerlukan pendidikan profesi. Profesionalisasi adalah upaya yang mengarah ke keprofesionalan. Secara etimologi profesionalisasi terdiri dari dua kata profesional artinya orang yang ahli atau tenaga ahli, dan isasi  sufiks artinya  tindakan atau keadaan menjadi. Kata profesionalisasi di sebut juga proses membuat suatu badan organisasi agar menjadi profesional. Profesi menuntut suatu keahlian yang didasarkan pada latar belakang pendidikan tertentu. Artinya dia benar-benar berpendidikan yang mengkhususkan pada suatu keahlian. Namun kita menyadari untuk menyandang gelar sebagai pendidik professional perlu proses yang cukup panjang, karena pendidik professional memiliki  ciri dan karakteristik tersendiri. Sebagaimana yang diungkapkan Sudarwan Danim (2011:106)

Ada beberapa ciri-ciri guru professional, yaitu :

1.      Memiliki kemampuan intelektual yang diperoleh melalui pendidikan

2.      Memiliki pengetahuan spesialisasi

3.      Menjadi anggota organisasi profesi

4.      Memiliki pengetahuan praktis yang dapat digunakan langsung oleh orang lain

5.      Memiliki teknik kerja yang dapat dikomunikasikan

6.      Memiliki kapasitas mengorganisasikan kerja secara mandiri atau self organization

7.      Mementingkan kepentingan orang lain

8.      Memiliki kode etik

9.      Memiliki sanksi dan tanggung jawab komunitas

10.  Mempunyai sistem upah/ standar gaji

11.  Budaya professional

12.  Melaksanakan pertemun professional tahunan

Selain ciri-ciri diatas, Bedjo Sujanto (2007: 90) juga mengatakan bahwa seorang guru professional harus memiliki karakteristik tertentu yaitu:

a.         Guru selalu membuat perencanaan mengajar yang konkret dan rinci yang digunakan sebagai perdoman dalam pembelajaran

b.         Guru berusaha menempatkan siswa sebagai subjek belajar, guru sebagai pelayan, fasilitator dan mitra siswa agar siswa dapat mengalami proses belajar bermakna

c.         Guru dapat bersikap kritis, teguh dalam membela kebenaran dan bersifat inovatif.

d.        Guru juga bersikap dinamis dalam mengubah pola pembelajaran (peran siswa, peran guru dan gaya mengajar)

e.         Guru berani meyakinkan pihak lain (kepala sekolah, orangtua dan masyarakat) tentang rancangan inovasi yang akan dilakukan, dengan argumentasi yang logis dan kritis.

f.          Guru harus kreatif membangun dan menghasilkan karya pendidikan seperti : tulisan ilmiah, alat bantu pembelajaran, menganalisis bahan ajar, organisasi kelas, dan lain-lain.

Dari penjelasan  di atas, kita ketahui bahwa berarti tidak semua orang bisa disebut guru, dan tidak semua guru bisa disebut sebagai guru professional. Di negara kita saat ini, untuk menjadi seorang guru profesional dibutuhkan proses yang panjang, diantaranya  telah mengikuti pelatihan dan telah disertifikasi. Seorang guru dikatakan professional setelah adanya pengakuan sertifikasi dari lembaga pendidikan. Program sertifikasi guru dan dosen yang dicanangkan pemerintah, memberikan penghargaan terhadap profesi guru, berupa tunjangan sebesar gaji pokok. Penghargaan ini tentu harus dibarengi dengan mutu dan kemampuan seorang pendidik professional untuk mengelola proses pembelajaran dalam rangka mencapai tujuan pedidikan. Program sertifikasi yang harus dilalui guru dengan seleksi yang ketat, membuat guru harus menyiapkan diri untuk betul-betul memiliki kemampuan yang dibutuhkan untuk mengembangkan proses pembelajaran.

Namun kita menyadari, keprofesionalan seorang pendidik bukan saja terletak pada gelar sertifikasi yang disandangnya. Tapi lebih dari itu seorang pendidik professional dibuktikan dengan kinerja yang baik dalam mengelola proses pembelajaran dan menghasilkan output/lulusan yang berkualitas. Gelar pendidik/guru professional yang diperoleh dari program sertifikasi tidak lagi menjadi jaminan untuk keberhasilan guru dalam melaksanakan proses pembelajaran di kelas. Masih banyak guru yang tidak dapat menjalankan perannya sebagai seorang yang professional dalam profesinya.  Hal ini perlu  menjadi perhatian guru, untuk dapat meningkatkan kualitas pembelajaran yang dilaksanakan di kelas. Guru perlu mengevaluasi kekurangan proses pembelajaran, dan mencari solusi yang tepat.

Salah satu solusi yang bisa digunakan guru adalah dengan mengkaji lebih dalam tentang berbagai teori belajar. Dengan mempelajari berbagai teori belajar yang ada diharapkan ini bisa membantu guru untuk memfasilitasi siswa belajar dengan lebih baik dan menggali berbagi manfaat yang dapat diperoleh dari teori belajar tersebut. Seorang guru yang profesional diharapkan dapat mengoptimalkan proses pembelajaran dengan banyak cara, salah satunya menganalisis semua teori-teori belajar yang ada menerapkannnya dalam proses pembelajaran.

  1. F.   MANFAAT TEORI BELAJAR BAGI PENDIDIK PROFESIONAL

Guru sebagai seorang yang professional di bidang pendidikan, diharapkan dapat menguasai berbagai teori belajar yang ada. Hal ini dimaksudkan untuk membantu guru mencari cara terbaik untuk membantu siswa belajar. Sebagaimana yang kita ketahui ada banyak perbedaan pada diri masing-masing siswa. Sebuah kelas yang terdiri atas siswa yang heterogen dengan berbagai keanekaragaman, baik dari latar belakang keluarga, sosial, ekonomi, kemampuan dan lain-lain. Akan sangat sulit untuk mengelola dan mengarahkan sekian anak untuk belajar di dalam sebuah kelas, jika masing-masingnya mengemukakan keinginannya. Namun guru dituntut untuk bisa mengelola kelas baik secara klasikal maupun individual. Tidak saja dalam hal pengelolaan kelas, banyaknya perbedaan keanekaragaman kemampuan siswa dalam kelas, juga mempengarui motivasi belajar siswa. Ada siswa yang semangat dan serius dalam belajar dan ada siswa yang cuek dan tidak peduli /tidak serius mengikuti proses belajarnya. Tidak saja berhubungan dengan bagaimana proes pembelajaran itu berlangsung, pembelajaran juga diharapkan membentuk karakter dan kepribadian yang baik sebagai hasil belajar.Proses belajar tidak saja bermuara pada hasil belajar berupa angka, namun juga dari segi afeksi  dan psikomotornya, yaitu dalam bentuk perubahan pola perilaku/kepribadian yang ditanamkan melalui pembentukkan karakter yang baik bagi diri siswa. Dan secara psikomotor, dengan belajar diharapkan siswa dapat mengaplikasikannya dalam kehidupan. Disinilah dibutuhkan sosok dan peran seorang pendidik professional. Pendidik professional seharusnya bisa mengatasi berbagai persoalan di kelas dan mencari solusi yang terbaik, mengembangkan kemampuan siswa, membina dan membentuk karakter siswa serta melatih psikomotor siswa. Untuk dapat mencapai dan mewujudkan ini semua pendidik professional dapat memanfaatkan berbagai teori belajar yang ada. Sesuai dengan empat kompetensi yang wajib dimiliki seorang guru professional yaitu kompetensi pedagogic, kepribadian, social dan professional. Dari keempat kompetensi ini menggambarkan bahwa pendidik professional perlu menguasai teori belajar, sebagai salah satu bentuk kompetensinya. Sebagaimana yang diungkapkan Wina Sanjaya (2009) salah satu point kompetensi profesional guru adalah  pemahaman dalam bidang psikologi pendidikan, misalnya paham tentang tahapan perkembangan siswa, paham tentang teori belajar dan lain-lain. Selain sebagai salah satu kompetensi professional yang harus dikuasai guru, pentingnya teori belajar juga menjadi salah satu poin dalam kompetensi pedagogic guru.  Penerapan beberapa teori belajar dapat memberikan banyak manfaat, baik itu bagi guru, bagi siswa dan bagi proses pembelajaran. Berikut manfaat teori belajar bagi guru professional.

  1. 1.       Sebagai pedoman/landasan bagi guru untuk melaksanakan proses pembelajaran.

Pemanfaatan berbagai teori belajar bisa menjadi pedoman bagi guru untuk menentukan arah pembelajaran. Ini dilakukan untuk mengembangkan seluruh potensi siswa dan menjadi pedoman guru untuk melaksanakan pembelajran sesuai dengan karakteristik peserta didiknya. Mencari starategi pengajaran yang tepat serta memilih hal-hal yang bisa membantu mengembangkan proses pembelajaran.

 

  1. 2.        Membantu guru memahami bagaimana siswa belajar.

Sebuah kelas terdiri dari beragam siswa, masing-masing siswa dengan kemampuan dan motivasi yang berbeda tentu memiliki cara belajar yang berbeda pula. Guru dapat mengetahui dan membantu siswa belajar dengan memanfaatkan teori belajar. Pemanfaatan teori belajar ini akan memberikan gambaran bagi guru untuk memilih teori belajar sesuai dengan keadaan perbedaan kemampuan si anak. Teori belajar akan membantu guru untuk memahami bagaimana anak belajar. Anak anak belajar dengan penguatan, dengan pengalaman, melalui kondisi dan latihan, dan lain-lain. Dengan menguasai berbagai teori belajar akan membantu guru menentukan sikap/tindakan yang tepat untuk membantu siswa belajar.

  1. 3.        Membantu guru untuk mewujudkan pembelajaran yang lebih efektif dan efisien.

Perbedaan kemampuan, keadaan dan sikap siswa bisa saja menjadi masalah dalam belajar, namun sebaliknya semua itu harus mendapatkan penanganan yang baik dari guru, agar proses pembelajaran dapat berjalan dengan baik. Jika guru telah memahami bagimana siswanya belajar, maka ia sudah bisa menentukan bimbingan apa yang bisa ia lakukan untuk siswanya, sehingga ini akan menambah keefektifan proses pembelajaran. Tindakan guru yang tepat akan lebih menghemat waktu, sehingga siswa bisa belajar sesuai dengan tujuannya tanpa membuang waktu, tenaga dan biaya, sehingga mewujudkan proses pembelajaran yang efektif dan efisien.

  1. 4.         Membantu guru untuk merancang dan merencanakan proses pembelajaran

Pemanfaatan teori belajar tidak saja membantu siswa belajar, namun juga membantu guru untuk merancang pembelajaran yang sesuai dengan perbedaan kemampuan dan keanekaragaman anak didiknya. Memilih metode, strategi, media yang tepat untuk menyampaikan informasi dalam proses belajar pada anak didiknya.

5.       Menjadi panduan guru dalam mengelolah kelas

Pengelolaan kelas yang baik tergantung pada kemampuan pendidik professional untuk mengarahkan siswa untuk mengikuti arahnnya. Dengan memanfaatkan berbagai teori belajar sesuai dengan kebutuhan dan karakteristik siswa, ini bisa menjadi panduan guru dalam mengelola kelas, karena guru sudah mengetahui detail, bagaimana pribadi, sikap dan kemampuan siswa. Guru bisa memilih tindakan yang cocok untuk membimbing siswa, sehingga mempermudah guru mengelola kelas.

  1. 6.    Membantu guru mengevaluasi/ menilai proses pembelajaran, sikap guru serta hasil belajar yang telah dicapai.

Setiap proses pembelajaran tidak pernah luput dari kekurangan. Pendidik professional juga memiliki berbagai keterbatasan dalam melakukan proses pembelajaran, karena itu perlu diadakan evaluasi. Evaluasi ini dilakukan untuk melihat sejauh mana ketercapaian dan keberhasilan tujuan pembelajaran yang telah dicapai. Hasilnya dapat menjadi pedoman untuk pembelajaran yang berikutnya serta menjadi ajang perbaikan. Tidak saja dari segi hasil belajar, pemanfaatan teori belajar juga membantu guru untuk menilai diri/introspeksi diri, tindakan apa yang sudah dilakukan dengan baik, dan tindakan apa pula yang mungkin perlu diperbaiki guru di waktu mendatang.

7.    Membantu guru memberikan dukungan dan bantuan pada siswa agar siswa dapat mencapai prestasi optimal dan kesuksesan belajar

Perbedaan kemampuan dan kepribadian siswa tentu membutuhkan penanganan yang berbeda. Dengan pemanfaatan teori belajar, guru bisa menilai bagaimana siswanya belajar, sehingga ini mempermudah guru untuk memberikan arahan dan bantuan serta masukan bagi siswanya untuk terus mengembangkan potensi yang ada, mencapai prestasi yang diinginkan. Guru tiada henti memberikan dukungan, semangat serta memotivasi siswa agar biasa mencapai kesuksesan belajarnya.

  1. Membantu guru membangun karakter pada diri siswa

Pada dasarnya setiap siswa adalah individu yang baik, namun lingkungan dan bagaimana ia menjalani kehidupannya ikut serta memberikan pengaruh untuk pembentukan karakter seseorang. Dengan memanfaatkan teori belajar yang ada, ini dapat membantu guru untuk terus menanamkan karakter diri yang baik bagi siswa.

TEOREMA DASAR KALKULUS

calculus

Teorema dasar kalkulus

Teorema dasar kalkulus menjelaskan relasi antara dua operasi pusat kalkulus, yaitu pendiferensialan (differentiation) dan pengintegralan (integration).

Bagian pertama dari teorema ini, kadang-kadang disebut sebagai teorema dasar kalkulus pertama, menunjukkan bahwa sebuah integral taktentu[1] dapat dibalikkan menggunakan pendiferensialan.

Bagian kedua, kadang-kadang disebut sebagai teorema dasar kalkulus kedua, mengijinkan seseorang menghitung integral tertentu sebuah fungsi menggunakan salah satu dari banyak antiturunan. Bagian teorema ini memiliki aplikasi yang sangat penting, karena ia dengan signifikan mempermudah perhitungan integral tertentu.

Penyataan yang pertama kali dipublikasikan dan bukti matematika dari versi terbatas teorema dasar ini diberikan oleh James Gregory (1638-1675)[2]. Isaac Barrow membuktikan versi umum bagian pertama teorema ini, sedangkan anak didik Barrow, Isaac Newton (1643-1727) menyelesaikan perkembangan dari teori matematika di sekitarnya. Gottfried Leibniz (1646–1716) mensistematisasi ilmu ini menjadi kalkulus untuk kuantitas infinitesimal.

Teorema dasar kalkulus kadang-kadang juga disebut sebagai Teorema dasar kalkulus Leibniz atau Teorema dasar kalkulus Torricelli-Barrow.

Intuisi

Secara intuitif, teorema ini dengan sederhana menyatakan bahwa jumlah perubahan infinitesimal suatu kuantitas terhadap waktu (atau terhadap kuantitas lainnya) akan menumpuk menjadi perubahan total kuantitas.

Untuk memahami pernyataan ini, diberikan sebuah contoh: Misalkan sebuah partikel berpindah mengikuti garis lurus dengan posisinya diberikan sebagai x(t), dengan t adalah waktu dan x(t) berarti x adalah fungsi dari t. Turunan dari fungsi ini sama dengan perbuahan infinitesimal kuantitas, dx, per perubahan infinitesimal waktu, dt (tentu saja turunannya sendiri tergantung pada waktu). Didefinisikan pula perubahan jarak per perubahan waktu ini sebagai kecepatan v partikel. Dalam notasi Leibniz:

\frac{dx}{dt} = v(t).

Dengan menata ulang persamaan ini, terlihat bahwa:

dx = v(t)\,dt.

Dengan logika di atas, sebuah perubahan x (atau Δx) adalah jumlah dari perbuahan infinitesimal dx. Ia juga sama dengan jumlah dari hasil kali infinitesimal dari turunan dan waktu. Penjumlahahan takterhingga ini adalah pengintegralan; sehingga operasi penginteralan mengijinkan pemulihan fungsi semula dari turunannya. Dengan pemikiran yang sama, operasi ini juga dapat bekerja terbalik ketika kita menurunkan hasil dari sebuah integral untuk memulihkan turunan semula.

Pernyataan formal

Terdapat dua bagian teorema dasar kalkulus. Secara kasar, bagian pertama berkutat pada turunan sebuah antiturunan, sedangkan bagian kedua berkutat pada relasi antara antiturunan dan integral tertentu.

Bagian pertama

Bagian ini kadang-kadang dirujuk sebagai teorema dasar kalkulus pertama.

Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang kontinu, didefinisikan pada sebuah interval tertutup [a, b]. Misalkan juga F adalah fungsi yang didefinisikan, untuk semua x pada [a, b], dengan

F(x) = \int_a^x f(t)\, dt\,.

Maka F adalah kontinu pada [a, b], terdiferensialkan (differentiable) pada interval terbuka (a, b), dan

F'(x) = f(x)\,

untuk semua x pada (a, b)

Bagian kedua

Bagian ini kadang-kadang dirujuk sebagai teorema dasar kalkulus kedua.

Misalkan f adalah sebuah fungsi bernilai real yang kontinu, didefinisikan pada interval tertutup [a, b]. Misalkan juga F adalah antiturunan dari f, yakni salah satu dari fungsi-fungsi yang tak terhingga banyaknya yang untuk semua x pada [a, b],

f(x) = F'(x)\,.

Maka

\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\,.

Korolari

Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan pada sebuah interval tertutup [a, b]. Misalkan juga F adalah sebuah fungsi yang untuk semua x pada [a, b],

f(x) = F'(x)\,.

Maka untuk semua x pada [a, b],

F(x) = \int_a^x f(t)\,dt + F(a)

dan

f(x) = \frac{d}{dx} \int_a^x f(t)\,dt\,.

Contoh

Misalkan kita perlu menghitung

\int_2^5 x^2\, dx.

Di sini, f(x) = x^2 dan kita dapat menggunakan F(x) = {x^3\over 3} sebagai antiturunan. Sehingga:

\int_2^5 x^2\, dx = F(5) - F(2) = {125 \over 3} - {8 \over 3} = {117 \over 3} = 39.

Atau lebih umumnya, misalkan kita perlu menghitung

{d \over dx} \int_0^x t^3\, dt.

Di sini, f(t) = t^3 dan kita dapat menggunakan F(t) = {t^4 \over 4} sebagai antiturunan. Sehingga:

{d \over dx} \int_0^x t^3\, dt = {d \over dx} F(x) - {d \over dx} F(0) = {d \over dx} {x^4 \over 4} = x^3.

Namun hasil ini akan lebih mudah didapatkan apabila menggunakan:

{d \over dx} \int_0^x t^3\, dt = f(x) {dx \over dx} - f(0) {d0 \over dx} = x^3.

Pembuktian bagian pertama

Andaikan

F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \,dt\,.

Misalkan terdapat dua bilangan x1 dan x1 + Δx pada [a, b]. Sehingga didapatkan

F(x_1) = \int_{a}^{x_1} f(t) \,dt

dan

F(x_1 + \Delta x) = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt\,.

Pengurangan kedua persamaan di atas menghasilkan

F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt - \int_{a}^{x_1} f(t) \,dt. \qquad (1)

Bisa ditunjukan bahwa

\int_{a}^{x_1} f(t) \,dt + \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt.
(Jumlah dari luas wilayah yang bersampingan sama dengan jumlah kedua wilayah yang digabungkan.)

Dengan memanipulasi persamaan ini, kita dapatkan

\int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt - \int_{a}^{x_1} f(t) \,dt = \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt.

Substitusikan persamaan di atas ke (1), sehingga

F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt. \qquad (2)

Menurut teorema nilai antara untuk pengintegralan, terdapat sebuah c pada [x1, x1 + Δx] sehingga

\int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt = f(c) \Delta x \,.

Substitusikan persamaan di atas ke (2), kita dapatkan

F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = f(c) \Delta x \,.

Bagi kedua sisi dengan Δx, menghasilkan

\frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = f(c).
Perhatikan pula ekspresi pada sisi kiri persamaannya adalah hasil bagi beda Newton untuk F pada x1.

Dengan mengambil limit Δx → 0 pada kedua sisi persamaan:

\lim_{\Delta x \to 0} \frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} f(c).

Ekspresi pada sisi kiri persamaan adalah definisi turunan dari F pada x1.

F'(x_1) = \lim_{\Delta x \to 0} f(c). \qquad (3)

Untuk mencari limit lainnya, kita gunakan teorema apit. c ada pada interval [x1, x1 + Δx], sehingga x1cx1 + Δx.

Juga, \lim_{\Delta x \to 0} x_1 = x_1 dan \lim_{\Delta x \to 0} x_1 + \Delta x = x_1\,.

Sehingga menurut teori apit,

\lim_{\Delta x \to 0} c = x_1\,.

Substitusikan ke (3), kita dapatkan

F'(x_1) = \lim_{c \to x_1} f(c)\,.

Fungsi f kontinu pada c, sehingga limit dapat diambil di dalam fungsi. Oleh karena itu, kita dapatkan

F'(x_1) = f(x_1) \,.

yang menyelesaikan pembuktian

(Leithold dkk., 1996)

Pembuktian bagian kedua

Ini adalah pembuktian limit menggunakan penjumlahan Riemann.

Misalnya f kontinu pada interval [a, b], dan F adalah antiturunan dari f. Dimulai dengan kuantitas

F(b) - F(a)\,.

Misalkan pula terdapat bilangan-bilangan

x1, …, xn

sehingga

a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_{n-1} < x_n = b\,.

Maka

F(b) - F(a) = F(x_n) - F(x_0) \,.

Sekarang kita tambahkan setiap F(xi) bersamaan dengan balikan aditif (inverse additive), sehingga kuantitas yang dihasilkan adalah sama:

\begin{matrix} F(b) - F(a) & = & F(x_n)\,+\,[-F(x_{n-1})\,+\,F(x_{n-1})]\,+\,\ldots\,+\,[-F(x_1) + F(x_1)]\,-\,F(x_0) \, \\<br />
& = & [F(x_n)\,-\,F(x_{n-1})]\,+\,[F(x_{n-1})\,+\,\ldots\,-\,F(x_1)]\,+\,[F(x_1)\,-\,F(x_0)] \,. \end{matrix}

Kuantitas di atas dapat ditulis sebagai penjumalhan berikut:

F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n \,[F(x_i) - F(x_{i-1})]\,. \qquad (1)

Kemudan kita akan menggunakan teorema nilai purata. Dinyatakan dengan singkat,

Misalkan F kontinu pada interval tertutup [a, b] dan terdiferensialkan pada interval terbuka (a, b). Maka terdapat c pada (a, b) yang

F'(c) = \frac{F(b) - F(a)}{b - a}\,.

Sehingga

F'(c)(b - a) = F(b) - F(a). \,

Fungsi F terdiferensialkan pada interval [a, b]; sehingga ia juga terdiferensialkan dan kontinu pada setiap interval xi-1. Oleh karena itu, menurut teorema nilai purata,

F(x_i) - F(x_{i-1}) = F'(c_i)(x_i - x_{i-1}) \,.

Substitusikan persamaan di atas ke (1), kita dapatkan

F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n \,[F'(c_i)(x_i - x_{i-1})]\,.

Asumsi ini mengimplikasikan F'(c_i) = f(c_i). Juga, x_i - x_{i-1} dapat diekspresikan sebagai \Delta x dari partisi i.

F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n \,[f(c_i)(\Delta x_i)]\,. \qquad (2)

Deret yang konvergen dari penjumlahan Riemann. Angka pada kanan atas adalah luas dari persegi panjang abu-abu. Ia konvergen ke intergal fungsi tersebut.

Perhatikan bahwa kita sedang menjelaskan luas persegi panjang, dengan lebar kali tinggi, dan kita menggabungkan total semua luas persegi panjang tersebut. Setiap persegi panjang, dengan teorema nilai purata, merupakan pendekatan dari bagian kurva yang digambar. Juga perhatikan bahwa \Delta x_i tidak perlulah sama untuk setiap nilai i, atau dengan kata lain lebar persegi panjang dapat berbeda-beda. Apa yang perlu kita lakukan adalah mendekatkan kurva tersebut dengan n persegi panjang. Semakin kecil partisi ini dan semakin besar n, maka kita akan mendapatkan luas wilayah kurva yang semakin mendekati nilai sebenarnya.

Dengan mengambil limit ekspresi norma partisi mendekati nol, kita mendapatkan integral Riemann. Yakni, kita mengambil limit partisi yang terbesar mendekati nol dalam hal ukuran, sehingga partisi-partisi lainnya lebih kecil dan jumlah partisi mendekati tak terhingga.

Maka kita mengambil limit pada kedua sisi (2). Kita dapatkan

\lim_{\| \Delta \| \to 0} F(b) - F(a) = \lim_{\| \Delta \| \to 0} \sum_{i=1}^n \,[f(c_i)(\Delta x_i)]\,.

Baik F(b) maupuan F(a) tidak bergantung pada ||Δ||, sehingga limit pada bagian sisi kiri tetaplah F(b) – F(a).

F(b) - F(a) = \lim_{\| \Delta \| \to 0} \sum_{i=1}^n \,[f(c_i)(\Delta x_i)]\,.

Ekspresi pada sisi kanan persamaan merupakan definisi dari integral terhadap f dari a ke b. Sehingga kita dapatkan:

F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x)\,dx\,,

yang menyelesaikan pembuktian.

Perampatan

Kita tidak perlu mengasumsikan kekontinuan f pada keseluruhan interval. Bagian I dari teorema menyatakan: Jika f adalah setiap fungsi terintegral Lebesgue pada [a, b] dan x0 adalah bilangan pada [a, b] sehingga f kontinu pada x0, maka

F(x) = \int_a^x f(t)\, dt

terdiferensialkan untuk x = x0 dengan F’(x0) = f(x0). Kita dapat melonggarkan kondisi f lebih jauh dan andaikan bahwa ia hanyalah terintegralkan secara lokal/setempat. Pada kasus ini, kita dapat menyimpulkan bahwa fungsi F terdiferensialkan hampir di mana-mana dan F’(x) = f(x) hampir di mana-mana. Ini kadang-kadang dikenal sebagai Teorema pendiferensialan Lebesgue.

Bagian II dari teorema adalah benar untuk setiap fungsi terintegral (integrable fungction) Lebesgue f yang mempunyai sebuah antiturunan F (tidak semua fungsi terintegral mempunyainya).

Versi teorema Taylor yang mengekspresikan suku galat (error term) sebagai sebuah integral dapat dilihat sebagai sebuah perampatan (generalization) dari teorema dasar.

Terdapat sebuah versi teorema untuk fungsi kompleks: andaikan U adalah himpunan terbuka pada C dan f: UC adalah fungsi yang mempunyai sebuah antiturunan holomorfik F pada U. Maka untuk setiap kurva γ: [a, b] → U, integral kurva dapat dihitung sebagai

\int_{\gamma} f(z) \,dz = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a))\,.

Teorema dasar dapat dirampatkan ke integral kurva dan permukaan pada dimensi yang lebih tinggi dan pada manifold.

Salah satu pernyataan yang paling kuasa (powerful) adalah teorema Stokes: Diberikan M sebagai manifold mulus sesepenggal dimensi n berorientasi dan \omega adalah sebuah bentuk n−1, yakni bentuk diferensial yang disangga secara kompak pada M kelas C1. Jika ∂M menandakan sempadan M dengan orientasi terinduksinya, maka

\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega\,.

Di sini \mathrm{d}\!\, adalah turunan luar yang hanya terdefinisikan menggunakan struktur manifold.

Teorema ini seringkali digunakan dalam situasi ketika M adalah submanifold berorientasi terbenam (embedded oriented submanifold) dari manifold yang lebih besar di mana bentuk \omega didefinisikan

LIMIT FUNGSI

250px-Limit-at-infinity-graph

Limit suatu fungsi merupakan salah satu konsep mendasar dalam kalkulus dan analisis, tentang kelakuan suatu fungsi mendekati titik masukan tertentu.

Suatu fungsi memetakan keluaran f(x) untuk setiap masukan x. Fungsi tersebut memiliki limit L pada titik masukan p bila f(x) “dekat” pada L ketika x dekat pada p. Dengan kata lain, f(x) menjadi semakin dekat kepada L ketika x juga mendekat menuju p. Lebih jauh lagi, bila f diterapkan pada tiap masukan yang cukup dekat pada p, hasilnya adalah keluaran yang (secara sembarang) dekat dengan L. Bila masukan yang dekat pada p ternyata dipetakan pada keluaran yang sangat berbeda, fungsi f dikatakan tidak memiliki limit.

Definisi limit dirumuskan secara formal mulai abad ke-19.

Sejarah

Meskipun termasuk secara implisit dalam pengembangan kalkulus pada abad ke-17 dan 18, gagasan modern limit fungsi baru dibahas oleh Bolzano, yang pada 1817, memperkenalkan dasar-dasar teknik epsilon-delta. [1] Namun karyanya tidak diketahui semasa hidupnya.

Cauchy membahas limit dalam karyanya Cours d’analyse (1821) dan tampaknya telah menyatakan intisari gagasan tersebut, tapi tidak secara sistematis. [2] Presentasi yang ketat terhadap khalayak ramai pertama kali diajukan oleh Weirstrass pada dasawarsa 1850-an dan 1860-an[3], dan sejak itu telah menjadi metode baku untuk menerangkan limit.

Notasi tertulis menggunakan singkatan lim dengan anak panah diperkenalkan oleh Hardy dalam bukunya A Course of Pure Mathematics pada tahun 1908.[2]

Definisi

Berikut beberapa definisi limit fungsi yang umum diterima.

Fungsi pada garis bilangan riil

Bila f : R \rightarrow R terdefinisi pada garis bilangan riil, dan p, L \in R maka kita menyebut limit f ketika x mendekati p adalah L, yang ditulis sebagai:

 \lim_{x \to p}f(x) = L

jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga |xp|< δ mengimplikasikan bahwa |f (x) – L | < ε . Di sini, baik ε maupun δ merupakan bilangan riil. Perhatikan bahwa nilai limit tidak tergantung pada nilai f (p)

Limit searah

Limit saat: x → x0+ ≠ x → x0. Maka, limit x → x0 tidak ada.

Masukan x dapat mendekati p dari atas (kanan di garis bilangan) atau dari bawah (kiri). Dalam hal ini limit masing-masingnya dapat ditulis sebagai

 \lim_{x \to p^+}f(x) = L

atau

 \lim_{x \to p^-}f(x) = L

Bila kedua limit ini sama nilainya dengan L, maka L dapat diacu sebagai limit f(x) pada p . Sebaliknya, bila keduanya tidak bernilai sama dengan L, maka limit f(x) pada p tidak ada.

Definisi formal adalah sebagai berikut. Limit f(x) saat x mendekati p dari atas adalah L bila, untuk setiap ε > 0, terdapat sebuah bilangan δ > 0 sedemikian rupa sehingga |f(x) – L| < ε pada saat 0 < xp < δ. Limit f(x) saat x mendekati p dari bawah adalah L bila, untuk setiap ε > 0, terdapat bilangan δ > 0 sehingga |f(x) – L| < ε bilamana 0 < px < δ.

Bila limitnya tidak ada terdapat osilasi matematis tidak nol.

Limit fungsi pada ketakhinggaan

Limit fungsi ini ada pada ketakhinggaan.

Bila dua unsur, ketakhinggaan positif dan negatif {-∞, +∞}, ditambahkan pada garis bilangan riil, kita dapat mendefinisikan limit fungsi pada ketakhinggaan. Dua unsur tambahan ini bukanlah bilangan, namun berguna dalam memerikan kelakuan limit pada kalkulus dan analisis.

Bila f(x) adalah fungsi riil, maka limit f saat x mendekati tak hingga adalah L, dilambangkan sebagai:

 \lim_{x \to \infty}f(x) = L,

jika dan hanya jika untuk semua ε > 0 terdapat S > 0 sedemikian rupa sehingga |f (x) – L| < ε bilamana x > S.

Dengan cara yang sama, limit f saat x mendekati tak hingga adalah tak hingga, dilambangkan oleh

 \lim_{x \to \infty}f(x) = \infty,

jika dan hanya jika bila untuk semua R > 0 terdapat S > sedemikian sehingga f(x) > R bilamana x > S.

MATH IN FACEBOOK-TWITTER-PLURK

010511_0838_mathinfacet3

Helooo para Netizen (internet Citizen), para pecinta dunia maya

Salam kenal dan salam maya:)

Nah kalian pasti udah gak asing kan sama maraknya jenis-jenis situs jejaring sosial yang ada di dunia maya saat ini…mulai dari friendster, Yahoo Messengers, sampai yang paling ngetop belakangan ini Facebook and Twitter, eitssss and PLURK juga. Nah loh…..saya yakin pasti di antara teman-teman semua paling tidak memiliki 1 account dari berbagai situs jejaring sosial yang ada, iyaaa kan… apalagi Facebook, sampai-sampai ada istilah “Hari gini, gak punya FB? Apa kata dunia”…haha…ya mungkin agak terlalu berlebihan yah, itu kan hak dari masing-masing individu mau bikin account FB atau gak…^^, (FB istilah populer untuk Facebook).

Yasudah, dari pada ngalor ngidul gak jelas, disini saya mau jelasin dulu kenapa saya mengambil judul tulisan ini “MATH in FACETWITPLURK” . Kalo di telaah dari judul tersebut akan tersirat 5 kata:

MATH-in-FACEBOOK-TWITTER-PLURK. Kenapa saya mengambil hanya 3 situs jejaring ini Facebook, Twitter, and Plurk? Karena saya termasuk sebagai pengguna ketiga situs jejaring tersebut, jadiii saya cukup memahami karakteristik ketiga situs tersebut..jadi maksud dari judul tulisan ini yaitu Matematika dalam Twitter, Facebook, dan Plurk.kalian pasti bertanya-tanya kok Matematika?? Emang ada Matematika dalam Facebook, Twitter, and Plurk??? ini nih bakal saya bahas lebih lanjut, Matematika seperti apa sih yang ada di dalam ketiga situs jejaring sosial ini, berupa rumus kah?? Berupa teorema kah? Berupa apa yaaaaaa…..?? cekidott🙂

   

math graph to connect us

Sebelumnya saya mau kasih tau dulu nih apa itu Facebook, Twitter, and Plurk. Walaupun kalian pasti udah pada tau ketiganya itu merupakan situs jejaring sosial, tempatnya kita saling berteman dalam dunia maya, tapi gak ada salahnya toh saya ulas sedikit, biar kalian lebih paham lagi..oke, oke… ^^

Facebook :

Facebook adalah sebuah situs web jejaring sosial populer yang diluncurkan pada 4 Februari 2004. Facebook didirikan oleh Mark Zuckerberg, seorang mahasiswa Harvard kelahiran 14 Mei 1984 dan mantan murid Ardsley High School.

FB merupakan website jaringan sosial dimana para pengguna dapat bergabung dalam komunitas seperti kota, kerja, sekolah, dan daerah untuk melakukan koneksi dan berinteraksi dengan orang lain. Orang juga dapat menambahkan teman-teman mereka, mengirim pesan, dan memperbarui profil pribadi agar orang lain dapat melihat tentang dirinya.

Fitur-fitur yang dimiliki facebook:
1. Bisa Posting
2. Terdapat grup dan halaman
3. Mempunyai aplikasi game atau yang lain.
4. Bisa mengomentari postingan orang lain dan juga dapat menyukai atau tidak menyukai.

Twitter:

Twitter adalah sebuah situs mikroblog dan situs web jejaring sosial yang memberikan fasilitas bagi pengguna untuk mengirimkan “pembaharuan” berupa tulisan teks dengan panjang maksimum 140 karakter melalui SMS, pengirim pesan instan, surat elektronik, atau aplikasi. Twitter didirikan pada Maret 2006 oleh perusahaan rintisan Obvious Corp. Kata twitter secara harfiah berarti ‘berkicau’. Situs ini mempunyai konsep blog mikro dalam penggunaannya.Pengertian simplenya, Twitter merupakan situs sosial yang membuat koneksi kita dengan orang lain lebih mudah hanya dengan mengisi “What are you doing now?” Dengan begini, orang-orang dapat mengetahui aktivitas yang kita lakukan setiap hari.. Sesama user dapat saling mengomentari statusnya dan bisa mengirimkan Direct Message yang sifatnya privasi..

Fitur-fitur yang dimiliki twitter:

1. Bisa posting (harus)
2. Follower n following system.

Plurk:

Plurk adalah layanan jejaring sosial dan mikroblog gratis yang mengizinkan pengguna mengirim pembaruan (dikenal sebagai suatu plurk) melalui antarmuka web, pesan singkat, atau cara lain, dengan panjang maksimum 140 karakter. Pembaruan ini akan ditampilkan pada halaman web pengguna menggunakan garis waktu yang menampilkan semua pembaruan yang diterima dengan urutan kronologis, dan selanjutnya disampaikan ke pengguna lain yang masuk. Pengguna dapat menanggapi pembaruan pengguna lain dari garis waktu mereka melalui situs web Plurk.com,pengirim pesan instan, atau pesan singkat.

Fitur-fitur yang dimiliki Plurk:
1. Bisa posting
2. Terdapat daftar posting
3. Postingan terdapat emocticon.
4. Tema dapat diganti dengan CSS template.

5. Ada istilah “Karma”. Karma adalah suatu penilaian tertentu terhadap aktivitas anggotanya.

Nah…dari pengertian di atas dan terlepas dari perbedaan fitur-fitur yang dimiliki ketiga social network (jejaring sosial) tersebut saya akan menunjukkan pada kalian apa sih sisi Matematika yang bisa kita temukan di dalam ketiga social network itu…

Ada beberapa perbedaan yang mendasar tentang Twitter, Facebook, and Plurk. Salah satu yang mungkin cukup signifikan adalah perbedaan dalam hubungan antara setiap individu dalam ketiga situs jejaring sosial tersebut. So, melalui tulisan ini saya akan lebih menekankanbagaimana hubungan antar user dari masing-masing social network tersebut dan ingin menunjukkan unsur Matematika yang bisa diaplikasikan ke dalam ketiga social network ini, nah unsur matematika tersebut yaitu unsur Teori Graf . Jadi di sini saya akan medefinisikanTeori Graf dengan istilah berbeda yaitu MathGraph to Connect Us sebagai representasi graf di dalam kaitan bagaimana sih pola hubungan antara setiap pengguna (user) dalam ketiga social network Twitter, Facebook, dan Plurk .

Pada Facebook, hubungan sosial antara dua individu bersifat komutatif . Maksudnya, jika si Aberteman dengan si B, sudah pasti si B juga berteman dengan si A .

Berbeda dengan Facebook, Twitter menggunakan sistem following-follower . Pengertian following adalah orang-orang yang kita ikuti update statusnya, sedangkan follower adalah orang-orang yang mengikuti update status kita. Pada sistem ini, jika si A follow (mengikuti) si B, maka si B tidak harus selalu mengikuti si A . Si B bisa memilih sendiri siapa-siapa yang ingin dia ikuti update statusnya.

Sedangkan pada Plurk, hubungan pertemanannya menggunakan sistem friends dan fans , yang merupakan kombinasi dari Facebook dan Twitter. Maksudnya, friends di sini sifatnya sama seperti pertemanan pada FB, jika si A berteman dengan si B, sudah pasti si B juga bertemandengan si A . Sedangkan fans layaknya istilah follow pada Twitter, jadi bila menjadi fans maka secara otomatis kita mengikuti update statusnya, untuk sistem fans pada Plurk ini berlaku jika si A fans si B, maka si B tidak harus menjadi fans dari si A . Jadi si B bisa memilih sendiri ingin menjadi fans dari pengguna lain yang diinginkannya. Kenapa ada dua kategori hubungan sosial dalam Plurk ini? Hmmm…mungkin sih ini hanya untuk membedakan bahwa friends khusus untuk orang-orang terdekat yang dikenal saja, sedangkan fans adalah kebanyakan orang-orang yang tidak begitu dikenal dan memang hanya ingin mengikuti timeline status kita. Hihihi…istilahnya membuat kita berasa jadi artiiiissss, yaaa gak siiih…. :p

Oke..oke… Sebelumnya akan saya jelaskan secara singkat dulu apa sih Teori Graf dalam ilmu Matematika itu. Teori graf digunakan untuk mempelajari tentang graf, yaitu sebuah struktur matematika yang digunakan untuk memodelkan relasi pasangan antar objek dalam sekumpulan objek tertentu. Graf merupakan himpunan simpul atau verteks dan sekumpulan edge atau arc yang menghubungkan dua buah simpul tertentu. Banyak hal dalam dunia ini yang bisa dimodelkan dengan graf. Algoritma PageRank dalam search engine Googlemerupakan salah satu contoh penerapan graf. Karena di sini saya membuat definisi baru, makaMathGraph to Connect Us akan saya jabarkan sebagai berikut:

Definisi 
MathGraph to Connect Us . Graf FTP (FacebookTwitterPlurk) didefinisikan sebagai pasangan himpunan (U, C) ditulis dengann notasi FTP=(U, C), yang dalam hal ini U adalah himpunan tidak-kosong dari simpul-simpul (user atau pengguna) dan C adalah himpunan sisi (Connect atau busur hubungan) yang menghubungkan sepasang pengguna.

Sisi pada graf dapat mempunyai orientasi arah. Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum ada dua jenis mathGraf:

  1. Jenis pertama disebut sebagai mathgraf tak berarah ( undirected mathgraph ).

    Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak-berarah. Pada graf tak berarah, tidak menganggap adanya perbedaan antara dua buah simpul (user atau pengguna) yang dihubungkan oleh sebuah connection (hubungan pertemanan), yang artinya urutan pasangan simpul (user) yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan. Jadi, (a,b) = (ba) adalah sisi yang sama.

  1. Jenis kedua disebut mathgraf berarah ( directed mathgraph -digraph ).

    Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah disebut sebagai graf berarah. Kita lebih suka menyebut sisi berarah dengan sebutan busur arc ). Pada mathgraf berarah, (a,b) dan (b,a) menyatakan dua buah busur yang berbeda, yang artinya memiliki pengertian bahwa connection (hubungan) diarahkan dari satu pengguna ke pengguna yang lain (antar user), dengan kata lain (a,b) ≠ (b,a). Untuk busur (a,b), simpul/user a dinamakan user asal(initial vertex) dan simpul/user b dinamakan user terminal (terminal vertex).

Maka untuk melihat bagaimana pola hubungan antara setiap pengguna (user) dalam ketiga social network Facebook, Twitter dan Plurk ini terlihat lebih sederhana, mari kita gunakanDefinisi MathGraph to Connect Us untuk merepresentasikannya. Berikut ini adalah contohrepresentasi mathgraf dari ketiga social network Facebook, Twitter dan Plurk:

Hubungan pertemanan dalam Facebook dapat dimodelkan dengan menggunakan mathgraf tak berarah. Hal ini disebabkan adanya hubungan yang setara antara dua orang dalam situs ini seperti yang telah dijelaskan sebelumnya. Jadi jika si A terhubung/berteman dengan si B, maka si B juga terhubung/berteman dengan si A (sifat komutatif). Sehingga para pengguna FB yang telah berteman bisa saling menerima update status dari masing-masing user. Representasi mathgraf dari hubungan sosial dalam Facebook dapat dilihat pada gambar di bawah ini.

MathGraph to Connect Us on Facebook

Pada gambar di atas dapat kita lihat:

  • Lilik Suliandari memiliki hubungan pertemanan dengan Apriana Hidayanti.
  • Apriana Hidayanti memiliki hubungan pertemanan dengan Lilik Suliandari , Kemala Dewi , dan Kadek Parna.
  • Kemala Dewi memiliki hubungan pertemanan dengan Apriana Hidayanti dan Kadek Parna.
  • Akhirnya, Kadek Parna memiliki hubungan pertemanan dengan Apriana Hidayanti danKemala Dewi.

Berbeda dengan Facebook, seperti yang telah dijelaskan sebelumnya hubungan sosial dalam Twitter dapat direpresentasikan sebagai graf berarah, atau digraph . Pertama, kita asumsikan bahwa arah pada edge menunjukkan aliran informasi (atau update status) dari satu akun ke akun lain. Artinya jika si A mem- follow si B, maka A akan mendapatkan informasi status dari B, sehingga akan ada edge berarah dari A ke B. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada gambar berikut.

MathGraph to Connect Us on Twitter

Dari gambar di atas, dapat kita lihat beberapa hubungan sosial:

  • @ilovelyq mem- follow @justinbieber , atau dengan kata lain @ilovelyq adalah follower dari @ justinbieber .
  • @aristhia adalah follower dari @ilovelyq .
  • Dan @adit38 adalah follower dari @ilovelyq dan @aristhia.
  • Pada edge (sisi) yang menghubungkan antara @ilovelyq dan @adit38 terdapat dua arah. Hal ini menunjukkan hubungan timbal balik antara @ilovelyq dan @adit38 . Artinya,@ilovelyq merupakan follower dari @adit38 dan berlaku juga sebaliknya.

Nah lain Facebook & Twitter, maka beda pula untuk Plurk, karena hubungan pertemanan dalam social network ini menggunakan sistemfriends dan fans , maka seorang plurkers hanya bisa memilih antara menjadi teman atau fans dari plurkers lain. Ada hal yang perlu di catat, dalam hal ini saya abaikan bagaimana plurkers yang di add sebagai teman mengkonfirm plurkers lain, dengan kata lain bila di add sebagai teman maka plurkers akan dikonfirms sebagai teman. Mengapa demikian??? Soalnya, dalam Plurk, bila kita meng-add plurkers lain sebagai teman, maka plurkers yang bersangkutan berhak memilih untuk mengkonfirm kita sebagai teman atau fansnya.

Karena pada Plurk terdapat 2 model hubungan sosial yakni friends dan fans , maka akan terdapat 2 pola mathgraph untuk masing-masing hubungan sosialnya.

Hubungan friends jika si A berteman dengan si B, sudah pasti si B juga berteman dengan si A. Jadi, si A akan menerima timeline status dari si B dan begitu pula sebaliknya. Nah berikut merupakan Representasi mathgrafnya:

MathGraph to Connect Us on Plurk as friends

Dari gambar di atas, dapat dilihat hubungan sosial sebagai berikut:

  • @loveliq berteman dengan @luckylestari , @ngo1389 , dan @shapanda . Artinya @loveliqmengikuti timeline status dari mereka.
  • @luckylestari berteman dengan @loveliq dan @shapanda . Artinya @luckylestarimengikuti timeline status dari mereka.
  • @shapanda berteman dengan @loveliq , @luckylestari , @ngo1389 . Artinya @shapandamengikuti timeline status dari mereka.
  • @ngo1389 berteman dengan @loveliq , @shapanda . Artinya @ngo1389 mengikuti timeline status dari mereka.

Hubungan sosial fans pada Plurk diartikan bila menjadi fans maka secara otomatis kita mengikuti update statusnya. Untuk hubungan fans ini jika si A fans si B, maka si A mengikuti timeline status 
dari si B, sedangkan si B belum tentu sebaliknya. Jadi Representasi mathgrafnya sebagai berikut:

MathGraph to Connect Us on Plurk as fans

Dari representasi mathgraf di atas, dapat dilihat hubungan sosial antara:

  • @na_nana , @aristhia , @upie_ndud menjadi fans dari @loveliq . Artinya mereka mengikuti timeline status dari @loveliq .
  • @na_nana menjadi fans dari @upie_ndud . Begitu pula sebaliknya @upie_ndud menjadi fans dari @na_nana . Artinya ada hubungan sosial timbal balik sebagai fans, jadi sama-sama saling mengikuti timeline status masing-masing.

Jadiiiiiiiiiii….setelah uraian di atas bisa disimpulkan bahwaaaa:

1. Penggunaan teori graf kurang lebih mampu mempresentasikan hubungan antar pengguna situs jejaring sosial pada Facebook, Twitter, dan Plurk atau juga social network lainnya yang menggambarkan jaringan/hubungan sosial pertemanan.

2. Pada facebook, Teori graf memberikan gambaran mengenai hubungan sosial pertemanan dalam bentuk undirected graph.

3. Pada twitter, Teori graf memberikan gambaran mengenai hubungan sosial pertemanan (following-follower) dalam bentuk directed graph-digraph.

4. Pada Plurk, Teori Graf memberikan 2 buah gambaran mengenai hubungan sosial antar user sebagai friends dalam bentuk undirected graph, dan hubungan sosial sebagai fans dalam bentuk directed graph-digraph.

sumber : http://gamatika.wordpress.com/2011/01/05/math-in-facetwitplurk-by-liliksuliandari/#comment-3542

“PHI” in the crop circle .

040911_0157_mysteryofph1

Gambar

CROP CIRCLE (dalam bahasa Inggris) adalah lingkaran tanaman yang mempunyai pola teratur yang terbentuk secara misterius di area ladang tanaman.

Nah,, gambar disamping merupakan crop cirle yang terunik. Mengapa?? Karena, ada sesuatu yang menarik dibalik crop cirle ini.

Crop Circle ini ditemukan di Barbury Castle Pattern, Inggris. Jika dlihat, sepertinya, crop circl ini biasa saja. Eeeiit..jangan salah,, para scienties telah meneliti crop cirle unik ini. Ternyata…..crop circle tersebut menyimpan sebuah misterii..(hiiii seraam)..misteri apakah itu??
dan apa hubunganx dengan matematika??ayoooo…kita amati bersama…!!^^

Crop Sircle merupakan contoh dari sebuah pola fraktal, atau geometris.
Dengan mendesain crop circle menggunakan pola fraktal & geometris akan menciptakan Crop Sircle yang paling baik & indah.

Perhatikan bentuk Crop Cirle diatas.

Jika kita partisi menjadi 10 bagian dengan 36o sesuai bentuk pola dari crop circle tersebut. Lihat gambar 1.2

GAMBAR 1.2

Setelah kita partisi,,berilah nomor pada bagian-bagian tersebut sesuai dengan panjang diameternya. Kemudian, beri warna yang berbeda, agar tampak lebih jelas.

Perhatikan gambar 1.3.

GAMBAR 1.3

Sekarang, ambil angka trakhir dari bagian warna-warna tersebut

– Bagian Merah       : angka 3

– Bagian Hijau        : terdapat tanda titik ( . ) sesuai pola tanaman yang terlihat pada foto Crop Circle, dan ambil angka 1 untuk mewakili bagian ini.

– Bagian Ungu Tua   : angka 4

– Bagian Coklat       : angka 1

– Bagian Biru         : angka 5

– Bagian Kuning       : angka 9

– Bagian Ungu Muda : angka 2

– Bagian Merah      : angka 6

– Bagian Hijau       : angka 5

– Bagian Biru tua    : angka 4

 

Kemudian,, Jika kita deretkan angka yang telah kita ambil dari setiap bagian warna, termasuk tanda titik pada bagian warna hijau, maka terbentuklah deretan angka 3.141592654…

Kalian pasti tau ini adalah nilai apa??Yaaa!…

Ini adalah nilai ‘Phi’ yaitu 3.14 atau 22/7 yang biasanya berhubungan erat dengan lingkaran.

Konon katanya,, Nilai phi dianggap “nilai keramat” oleh orang zaman dahulu kala. Dan sampai sekarang nilai Phi masih menyisakan misteri mengenai ketelitian jumlah digit setelah titik decimal.

SUMBER : http://gamatika.wordpress.com/2011/04/09/mystery-of-phi-in-the-crop-circle-2/

CATUR DAN MATEMATIKA

042611_0650_knightstour1

Gambar

Siapa yang tak mengenal permainan ini???????Ini adalah permainan catur, sebuah permainan yang ditemukan di masyarakat negara Persia dan Arab, yang kemudian menyebar ke seluruh dunia. Kata “catur” itu sendiri berasal dari kata “chaturanga,” yang dalam bahasa Sanskrit berarti “empat divisi ketentaraan.”

Setelah melalui beberapa perubahan, akhirnya pada abad ke 12, bidak-bidak catur mulai ditetapkan, menjadi raja (king), ratu (queen), gajah (bishop), kuda (knights), dan benteng (rocks) serta pion (pawn). Perkembangan pada catur pun mulai terjadi. Dahulu permainan ini berakhir hingga berhari-hari lamanya, tetapi pada tahun 1300, mulai diperkenalkan pembatasan waktu bermain serta pada saat itu juga diperkenalkan aturan melangkah bidak pion.

Pada tahun 1.475 terjadi evolusi permainan catur. Mulai diperkenalkan konsep langkah Ratu (buah yang paling kuat) serta mulai diperkenalkan konsep promosi pion yang bisa berubah menjadi ratu. Gajah juga berubah istilah menjadi bishop. Dengan demikian skak mat menjadi lebih mudah di permainan ini dan mengurangi secara drastis langkah-langkah yang diperlukan.

Seorang pemain Italia, Gioacchino Greco, tercatat sebagai pecatur profesional pertama dalam sejarah permainan ini. Ia menulis buku catur dan menampilkan beberapa komposisi permainan serta analisis catur. Karya ini membuat catur menjadi permainan populer serta mulai menunjukkan teori, taktik dan strategi permainan ini.

Karya pertama yang memuat berbagai variasi dan kombinasi kemenangan ditulis oleh François-André Danican Philidor dari Prancis. Ia menunjukan permainan catur terbaik selama 50 tahun terakhir dan buku itu dipublikasi pada abad 18. Bukunya berjudul L’Analyze des échecs (Analisa Catur), sebuah buku berpengaruh hingga dicetak ulang sampai 100 kali.

KNIGHTS TOUR

Telah dijelaskan latar belakang sejarah catur diatas, kini saya akan coba terapkan konsep permainan catur pada matematika. Disini akan di gunakan kuda (knights) untuk penerapannya atau yang lebih dikenalknights tour.

Knights Tour merupakan sebuah masalah dalam matematika yang melibatkan kuda (knights) pada papan catur. Tujuan dari knight’s tour ini adalah melewati setiap kotak pada papan catur. Sebelum kita membahas lebih lanjut, saya akan menjelaskan sedikit tentang teori graf. Graf adalah himpunan simpul yang dihubungkan dengan sisi-sisi.

Graf yang akan digunakan disini ialah graf Hamilton. Graf Hamilton ada 2 macam, lintasan Hamilton, yaitu lintasan yang melalui tiap simpul di dalam graf tepat satu kali (gambar 2), dan sirkuit Hamilton ialah lintasan Hamilton yang kembali ke titik asal dan membentuk lintasan tertutup (gambar 1).

Gambar 1                                                    Gambar 2

Sekarang kita akan melihat aplikasi knights tour dalam metematika.

Seperti yang kita ketahui, bidak yang paling menarik langkahnya pada permainan catur adalah kuda, karena langkah kuda membentuk huruf L pada setiap langkahnya, seperti gambar di samping.

Untuk menyelesaikan knight’s tourini, diperoleh banyak cara untuk menyelesaikannya. Apabila kita menggunakan konsep matematika secara umum, yaitu antara lain, menggunakan konsep faktorial, maka kemungkinan yang terjadi adalah 64! = 1.27 × 1089, sehingga membutuhkan bejuta-juta tahun untuk meyelesaiaknnya. Menggunakan konsep eksponensial, kemungkinan yang terjadi pun tidaklah sedikit, yaitu sekitar 64 × 463, lebih sedikit jika dibandingkan dengan konsep faktorial, teteapi tetap musatahil juga untuk kita cari. Dan dengan konsep simetri, maka kemungkinannya paling sedikit adalah 8.5 × 1038. WOW, terlihat mustahil bagi kita untuk menyelesaikanknight’s tour ini dengan ketiga konsep diatas. Dari ketiga konsep matematika diatas, langkah-langkah yang dibutuhkan sangat-sangat lah panjang sekali dan untuk menggunakan konsep tersebut kita harus menggunakan sebuah alat seperti komputer, salah satunya dengan menggunakn metode algoritma backtracking.

 

Algoritma Backtracking bisa kita gunakan untuk mencari solusi dari kasus permainan. Kita akan membangun solusi parsial dari sebuah masalah lalu akan mencoba mengembangkan solusi tersebut. Jika solusi yang telah diperluas gagal, maka ia akan balik (dengan runut balik) dan akan mencoba solusi parsial lainnya, Knight’sTour yaitu dengan cara sebagai berikut :

  1. Dari kotak awal kuda ditempatkan dan membangkitkan langkah-langkah yang mungkin dilalui oleh kuda.
  2. Memilih salah satu langkah (kotak) yang kemudian diperluas langkah tersebut.
  3. Menempatkan kuda pada kotak yang telah dipilih.
  4. Mengulangi langkah satu untuk kotak yang sedang ditempati.
  5. Kembali ke langkah sebelumnya jika belum ditemukan solusi (backtracking). Pencarian berhenti jika telah ditemukan solusi atau tidak ada lagi langkah yang memungkinkan.

Berikut adalah contoh algoritma backtracking untuk kasus Knight’s Tour:

  • boardnya adalah n x n (ukuran dari papan)
  • (x,y) adalah koordinat letak kotak
  • move adalah nomor kotak yang telah dilewati
  • ok adalah boolean apakah sukses atau gagal

    type chess_board is array

    (1..n,1..n) of integer;

    procedure knight (board : in out chess_board;

    x,y,move : in out integer;

ok : in out Boolean) is

w, z : integer;

begin

if move = n^2+1 then

ok := ( (x,y) = (1,1) );

elsif board(x,y) /= 0 then

ok := false;

else

board(x,y) := move;

loop

(w,z) := Next position

from (x,y);

knight(board, w, z,

move+1, ok );

exit when (ok or No moves remain);

end loop;

if not ok then

board ( x,y ) :=0; –

Backtracking

end if;

end if;

end knight;

Metode yang lain yang bisa digunakan adalah metode De Moivre. Langkah-langkah metode ini adalah sesuai gambar disamping:

  1. Solusi ini untuk papan berukuran 8 × 8 dengan 64 kotak.
  2. Bagi papan menjadi ukuran 4 × 4 pada bagian tengah kotak dengan sisi luar berjarak 2 kotak dari pinggir papan catur.
  3. Lintasan kuda dapat dimulai dari dalam kotak (berukuran 4 × 4) atau bagian luar kotak 4 × 4 tersebut.
  4. Jika dimulai pada bagian luar kotak, kuda bergerak memutari bagian luar kotak 4 × 4 terlebih dahulu hingga seluruh bagian luar kotak 4 × 4 terlewati semua.
  5. Bidak kuda akan masuk ke dalam kotak, hanya jika sudah tidak bisa melewati bagian luar kotak tersebut.
  6. Jika semua kotak bagian luar telah dilalui, maka dapat melalui bagian dalam kotak dengan mudah.
  7. Untuk memulai dari dalam kotak, dapat diulang langkah-langkah diatas.

Dalam matematika lintsan yang dibuat sebagai penyelesaian langkah kuda tersebut dapat kita terjemahakan ke dalam ilmu matematika yaitu teori graf, khususnya garf Hamilton. Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya mengenai definisi lintasan dan sirkuit Hamilton, dapat kita terjemahkan ke dalam knight’s tourini sendiri.

Berikut adalah contoh lintasan knight’s tour:

Gambar 5

 

         

Gambar 6

Perhatikan gambar 5 dengan menggunakan nomor, terlihat nomor 64 (merupakan simpul akhir) tidak bisa menuju ke nomor 1 (merupakan simpul awal) sehingga termasuk lintasan Hamilton, sedangkan untuk gambar 6, perhatikan gambar yang menggunakan nomor, disini terlihat bahwa simpul 64 bisa menuju ke simpul satu, tentunya dengan memeperhatikan langkah kuda, sehingga gambar 6 merupakan sirkuitHamilton. Jadi berdasarkan definisi lintasan dan sirkuit Hamilton, maka gambar 5 termasuk lintasanHamilton dan gambar 6 termasuk sirkuit Hamilton.

KESIMPULAN

Jadi kesimpulan yang dapat ditarik dari permasalahan diatas adalah permaianan catur tidak hanya dapat digunakan sebagai permainan mengasah otak, tetapi dengan menggunakan salah satu bidaknya yaitu kuda dapat membuat permasalahn yang cukup menarik untuk diselesaikan yaitu sebuah knight’s tour. Dan dari knight’s tour ini dapat diaplikasikan ke dalam bentuk matematika yaitu teori graf bahkan pemrograman komputer dengan algoritma backtracking.

Terima Kasih

MATEMATIKA DALAM PERMAINAN POKER

imagesghj

Apa itu Poker???????????????????

Poker??? Ada sebagian dari kita yang sudah sering mendengar bahkan memainkan poker ini. Salah satunya kita dapat melihat kawan-kawan bermain poker di akun FB yang notabenenya FB telah menyediakan berbagai macan permainan salah satunya poker atau yang lebih dikenal dengan Zynga Poker yang dimainkan secara online (dapat dilihat pada gambar di atas). Di sini kita akan mengulas semua tentang permainan poker mulai dari sejarah sampai…………………//////penasaran y??? Biar gak pada penasaran simak semuanya y hehehehehehehe

Sejarah Poker…………

Dasar-dasar permainan Poker sudah ada sejak sangat lama, tetapi asal mula Poker yang sebenarnya tidak diketahui dengan jelas. Bentuk permainan awal dari Poker mencakup Asian betting game pada abad ke-10 dan permainan dari Persia yang dikenal dengan sebutan às nàsPrimero (atau Primera), sebuah permainan asal Eropa yang populer pada abad  ke-16 dan 17, memiliki banyak persamaan dengan Poker modern. Permainan serupa seperti brag di Inggris, pochen di Jerman, dan poque di Perancis, muncul pada abad ke-18. Para pedagang Perancis memperkenalkan poque ke Amerika Utara pada tahun 1700, yang akhirnya dikenal dengan sebutan modernnya, Poker. Poker sangat populer di dalam kapal di Sungai Mississippi dan di warung-warung di daerah perbatasan Amerika Barat selama tahun 1800an, saat dek dengan 52 kartu telah menjadi standar dan peraturan permainan mulai dibuat. Pada abad ke-20, Poker berkembang pesat di Amerika Serikat. Para tentara bermain poker untuk mengisi waktu luang selama Perang Dunia II (1939 – 1945), dan poker menjadi populer sebagai permainan rumahan. Pada abad ke-20, Poker berkembang pesat di Amerika Serikat., dikarenakan banyaknya waktu dan tempat perjudian yang dianggap legal di Nevada pada tahun 1931. Para tentara bermain poker untuk mengisi waktu luang selama Perang Dunia II (1939 – 1945), dan poker menjadi populer sebagai permainan rumahan. Pada tahun 1970, Binion’s Horseshoe Casino di Las Vegas, Nevada, mulai menyelenggarakan World Series of Poker (WSOP) tahunan. Dimulai dari hanya lima pemain pada awalnya, turnamen ini berkembang menjadi salah satu event terbesar dan terkaya di dunia. Biaya untuk memasuki arena WSOP adalah sebesar $10,000, tetapi banyak pemain yang dapat menghindari pembayaran tersebut dengan cara memenangkan turnamen-turnamen lain dalam skala lebih kecil yang disebut “satellite” sebagai ganti tiket masuk.

Peraturan Poker

Kawan-kawan tau gak?? Kalau dalam permainan poker ada aturannya lho…………penasaran?!!!!!!!!!!!

Ini dia peraturannya,,

Permainan poker menggunakan satu set atau lebih kartu remi, tetapi yang akan dibahas disini adalah permainan poker yang hanya menggunakan satu set.Kartu yang dimainkan terdiri dari 13 jenis (yaitu As, King, Queen, Jack, 10 – 2) dan 4 tipe (Spade, Heart, Club, Diamond).

Tiap pemain mendapat 5 buah kartu secara acak. Pemain yang susunan kartunya paling tinggi nilainya

adalah pemenangnya. Susunan kartu itu memiliki urutan dan deskripsi sebagai berikut (disusun dari

yang paling lemah hingga kuat).

  1. High Cards

Kelima kartu tidak membentuk kombinasi apapun, sehingga yang diambil adalah 1 kartu paling kuat

yang ada.

Contoh : 2H – 4S – 6D – 8C – 10D

  1. Pair

Terdapat 2 buah kartu yang sama, 3 kartu lainnya tidak membentuk kombinasi apapun.

Contoh : 3D – 4H – 8D – 8H – 9C

  1. Two Pair

Terdapat 2 buah pasangan kartu yang sama, 1 kartu sisanya tidak sama dengan kartu lainnya.

Contoh : 5D – 5H – 8D – 8H – 9C

  1. Three of A Kind

Terdapat 3 buah kartu yang sama, 2 kartu lainnya tidak boleh sama.

Contoh : As D – As H – As C – 8H – 9C

  1. Straight

Kelima kartu membentuk urutan seri (berurut) dengan tipe sembarang.

Contoh : 4H – 5C – 6D – 7S – 8C

  1. Flush

Kelima kartu memiliki tipe yang sama, jenis sembarang.

Contoh : 2H – 5H – 6H – 7H – 9H

  1. Full House

Gabungan Three of Kind dan Pair.

Contoh : 3H – 3C – 3D – 7S – 7C

  1. Four of Kind

Terdapat 4 kartu dengan jenis yang sama, 1 kartu sisanya bebas.

Contoh : 4D – 4C – 4H – 4S – As D

  1. Straight Flush

Kelima kartu berurut (straight) dengan tipe yang sama (Flush).

Contoh : 4C – 5C – 6C – 7C – 8C

  1. Royal Flush

Straight Flush yang berakhir di As

Contoh : 10 S – J S – Q S – K S – As S

Pada tau gak..>>>>

Ternyata matematika dalam permainan poker sangat berguna lho,,,,khususnya kombinatorial dan peluang. Ngga’ percaya???!!!

Ini buktinya………

Peluang Kemunculan

Sekarang kita akan menghitung berapa peluang kemunculan setiap kombinasi, dimulai dari yang

paling tinggi.Tetapi sebelum itu, kita harus menghitung berapa banyaknya kejadian seluruhnya (semesta / sample space). Permainan Poker mengambil 5 kartu dari 52 buah kartu, tidak memperdulikan urutan, sehingga

banyaknya kejadian yang ada adalah C(52 , 5) = 2.598.960 Ini adalah nilai S (Semesta). Peluang munculnya sebuah kejadian adalah P = |E| / |S| dimana E adalah banyaknya kejadian yang diinginkan, dan S adalah nilai Semesta.

  • Royal Flush

Untuk setiap tipe, hanya ada 1 kemungkinan royal flush. Sehingga totalnya ada 4 kemungkinan. Peluangnya = 4 : 2.598.960= 0,000154 %

  • Straight Flush

Cara mudah menghitungnya adalah dengan menggunakan patokan kartu pertama dalam urutan

straight flush. Ada 9 kemungkinan ( As – 9) untuk tiap tipe. Berarti ada total 36 (9 x 4) kemungkinan.

Peluangnya = 36 : 2.598.960= 0,00139 %

  • Four of A Kind

Terdapat 13 kemungkinan 4 kartu yang sama, karena kartu sisanya random, maka terdapat 48 kemungkinan.

Totalnya ada 13 x 48 = 624

Peluangnya = 624 : 2.598.960= 0,024 %

  • Full House

Untuk Three of Kind, berarti kita mengambil 3 kartu dari 4. Ini Sama dengan C(4,3). Terdapat 13 jenis kartu yang mungkin, sehingga dikalikan 13. Untuk One Pair sisanya, berarti kita mengambil 2 kartu dari 4, C(4,2). Dan tinggal ada 12 kemungkinan, karena 1 jenis telah terpakai untuk Three of Kind Totalnya ada C(4,3) x 13 x C(4,2) x 12 = 3.744

Peluangnya = 3.744 : 2.598.960= 0,144 %

  • Flush

Flush berarti dalam tiap tipenya, mengambil 5 dari 13, tetapi tidak boleh berurutan. Maka C(13,5) harus dikurangi 10 (Straight Flush dan Royal Flush), kemudian dikalikan 4. Totalnya adalah [C(13,5) – 10] x 4 = 5.108

Peluangnya = 5.108 : 2.598.960= 0, 197 %

  • Straight

Ada 10 kemungkinan seri (yang dimulai dari A-2-3-4-5 hingga 10-J-Q-K-As). Tiap kartu bebas tipenya, tetapi tidak boleh sama semuanya. Berarti ada 45 kemungkinan tipe dikurangi 4 (tipe sama semua). Totalnya adalah 10 x (45 – 4) = 10.200

Peluangnya = 10.200 : 2.598.960= 0,392 %

  • Three of A Kind

Berarti mengambil 3 dari 4, ada 13 pilihan. 2 kartu sisanya harus tidak membentuk apapun. MIsal kita telah dapat tiga kartu As, maka 2 kartu terakhir tidak boleh As, ataupun sama (Pair) karena jika As maka akan membentuk Four of Kind, dan bila Pair maka akan membentuk Full House. Sehingga 2 kartu yang tidak boleh dipakai yaitu 4 As (3 As telah terpakai dan 1 As lagi tidak boleh) dan semua jenis pair. Sehingga kita dapat menghitung sebagai berikut. 3 Kartu Pertama memiliki kemungkinan sejumlah C(4,3) x 13 = 52 Kartu keempat memiliki 48 kemungkinan (tak boleh yang sama dengan 3 kartu awal) Kartu Kelima memiliki 44 kemungkinan (tak boleh sama dengan 3 kartu awal atau kartu keempat). Karena kartu keempat dan kelima tidak berpengaruh urutannya, maka harus dibagi 2!. Sehingga totalnya adalah 52 x 48 x 44 / 2 = 54.912

Peluangnya = 54.912 : 2.598.960= 2,113 %

  • Two Pair

Berarti terdapat 2 pasangan kartu. Kartu terakhir tidak boleh sama dengan kartu sebelumnya, sehingga

terdapat 44 kemungkinan kartu terakhir. Kita perlu memilih 2 pasang dari 13 jenis yang ada,

dan tiap pasang memiliki kemungkinan sebanyak C(4,2) Totalnya adalah C(13,2) x C(4,2) x C(4,2) x 44 = 123.552

Peluangnya = 123.552 : 2.598.960= 4,754 %

  • Pair

Untuk 2 kartu yang sama, terdapat C(4,2) kemungkinan, dan ada 13 jenis yang dapat dipilih.

Sehingga terdapat C(4,2) x 13 = 783 kartu sisanya tidak boleh membentuk apapun, sehingga ketiganya harus jenis yang berbeda (tipe tidak berpengaruh). Berarti kita mengambil 3 dari 12, dan setiapnya memiliki 4 kemungkinan warna. Sehingga terdapat C(12,3) x 43 = 14.080 Totalnya adalah 78 x 14.080 = 1.098.240

Peluangnya = 1.098.240 : 2.598.960= 42,257 %

  • High Card

Kelima kartu tidak boleh membentuk apapun, berarti kelimanya harus berbeda, dan tidak boleh berwarna sama semua atau berurutan. Secara Jenis (As – K), terdapat 10 jenis kombinasi yang terlarang (Straight). Sehingga ada C(13,5) – 10 =1277 kemungkinan Secara Tipe (D, C, H, S), terdapat 4 kombinasi yang terlarang (flush). Sehingga terdapat 45 – 4 = 1020 kemungkinan Totalnya ada 1277 x 1020 = 1.302.540 kemungkinan

Peluangnya = 1.302.540 : 2.598.960= 50, 118 %

Tabel Peluang

Semua kombinasi kartu tersebut dapat diurutkan tingkat peluangnya sebagai berikut.

No Kombinasi Total kemunculan peluang
1 Royal Flush 4 0,00015%
2 Straight Flush 36 0,00139%
3 Four of a Kind 624 0,024%
4 Full House 3744 0,144%
5 Flush 5108 0,197%
6 Straight 10.200 0,392%
7 Three of a Kind 54.912 2,113%
8 Two Pair 123.552 4,754%
9 Pair 1.098.240 42,257%
10 High Card 1.302.540 50,118%
Total 2.598.960 100%

Nilai Total dari semua kemunculan sama dengan nilai semesta, dan total peluang sama dengan 100% (1), sehingga perhitungan peluang ini dianggap shahih. Dari tabel di atas kita dapat melihat bahwa urutan nilai suatu kombinasi didasari oleh besarnya peluang kombinasi itu diperoleh. Semakin sulit kombinasi itu didapatkan, semakin tinggi nilainya.

So guys,,,,,kesimpulannya

Aplikasi teori kombinatorial dan teori peluang sangat banyak digunakan untuk memecahkan permasalahan diberbagai bidang, salah satunya adalah untuk menghitung peluang kombinasi kartu dalam permainan ini. Peluang kemunculan beberapa kombinasi kartu dalam permainan Poker memiliki nilai yang relatif kecil, sehingga kemungkinan seseorang dapat memperoleh kombinasi-kombinasi yang tinggi bergantung pada jumlah permainan dan penukaran kartu yang dilakukan. Seorang pemain yang mendapat kartu yang paling sulit didapatkan adalah pemenangnya. Peluang seseorang memenangkan permainan Poker adalah sebesar 1:N, dengan adalah jumlah pemain.